OnlyFormuls
.pdfП. А. Машаров] |
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Формулы |
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1 |
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Формулы сокращенного умножения |
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|||||||||||||
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2, (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3, |
|||||||||||||||||
(a + b)(a − b) = a2 − b2, |
(a ± b)(a2 ab + b2) = a3 ± b3, |
||||||||||||||||
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n |
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n−1 |
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X |
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X |
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( |
a |
+ |
b |
n |
= |
Ckan−kbk |
, an |
+ |
bn |
= ( |
a |
+ |
b |
) (−1) |
k n−k−1bk. |
||
|
) |
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n |
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a |
|||||||||
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k=0 |
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k=0 |
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k |
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n! |
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Факториал n! = 1 · 2 · . . . · n, 0! = 1! = 1. Cn = |
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, |
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k!(n−k)! |
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Общие свойства функций
Область определения D(f ) те значения x, для которых можно вычислить y = f (x).
Множество значений E(f ) = {y : y = f (x), x D(f )} проекция графика на ось Oy.
График функции y = f (x) {(x, y) : x D(f ), y = f (x)} R2 (множество точек).
x = f −1(y) = {x R : f (x) = y} функция, обратная к y = f (x).
y= f (x) четная, если x D(f ) −x D(f ), f (−x) = f (x);
y = f (x) нечетная, если x D(f ) −x D(f ), f (−x) = −f (x).
y = f (x) периодическая с периодом T > 0, если x D(f ) x + T, x − T D(f ), f (x) = f (x + T ) = f (x − T ). Наименьший из возможных T период функции.
y = f (x) возрастающая ( ) [убывающая ( )] на G, если x1, x2 G: x1 < x2 f (x1) 6 f (x2) [f (x1) > f (x2)].
Квадратичная функция y = ax2 + bx + c, a, b, c R, a =6 0.
√
Дискриминант D = b2 − 4ac. Корни x1,2 = −b± D , если D > 0. Если D < 0 x .
2a
Теорема Виета. Числа x1 и x2 корни ax2 + bx + c = 0 x1 + x2 = −ab , x1x2 = ac . Если x1 и x2 корни ax2 + bx + c = 0, то ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2).
График квадратичной функции парабола, с ветвями вверх при a > 0, и вниз при a < 0. Координаты вершины (xв; yв), где xв = −2ba , yв = y(xв) = −4Da ; ось симметрии графика прямая x = xв.
y |
y = ax2 |
+ bx + c, |
y |
y = ax2 + bx + c, |
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yв a < 0 |
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a > 0 |
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c |
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xв |
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x1 |
x2 |
x1 O |
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x2 x |
xв O |
x |
c |
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yв |
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2 Алгебра и начала анализа
Дробно-линейная функция y = axcx++db , y
a c
[П. А. Машаров
a, b, c, d R, ad 6= bc, c 6= 0 y
−ab
− |
d |
O |
− |
b |
x |
|
O |
d |
x |
c |
|
a |
|
|
d |
−c |
|
||
|
|
|
|
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b |
|
|||
|
|
b |
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ax+b |
|
d |
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|
ax+b |
a |
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|
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||
y = cx+d |
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|
y = cx+d |
c |
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ad > bc |
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ad < bc |
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График гипербола с асимптотами: горизонтальная y = a/c, вертикальная x = −d/c.
Функция y = |x|
|a| > 0,
|a|2n = a2n,
|a + b| 6 |a| + |b|,
y
1
y = |x|
−1 O 1
y = x2n
y =
y
1
−1 O 1 x
|a| = |
−a, |
|
a, |
| − a| = |
|a|, |
|
|ab| = |a| · |b|, |
|
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|a − b| > |
|a| − |b| ; |
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|
a > 0, a < 0,
|
a 6 |
|a|; |
|
|
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|
|a/b| = |
|a|/|b|, b 6= 0; |
|||||
√ |
|
= |a|, |
2√n |
|
= |a|. |
|
a2 |
a2n |
|
|
y |
√ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
y = |
x |
|
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|||
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2 |
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1 |
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x |
O 1 |
|
4 |
|
x |
||||
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y |
|
|
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x2n+1 |
|
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|
y |
|
|
||
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y = √3 |
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|||
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x |
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1 |
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|||
−1 1 |
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−1 |
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O 1 |
x |
|||
O |
1 x |
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−1 |
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|
−1 |
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П. А. Машаров] |
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Формулы |
3 |
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Преобразование графиков функций |
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f (x) → f (x − a) |
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f (x) → f (x) + a |
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f (x) → f (kx) |
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||
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Сдвиг вправо на a, a > 0 |
|
Сдвиг верх на a, a > 0 |
Сжатие к Oy в k > 1 раз |
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||||
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f (x) → kf (x) |
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f (x) → f (−x) |
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|
f (x) → −f (x) |
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Растяжение от Ox |
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Симметричное отображе- |
|
Симметричное отображе- |
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|||
в k раз, k > 1 |
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ние относительно Oy |
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|
ние относительно Ox |
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||
f (x) → f (|x|) |
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f (x) → |f (x)| |
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f (x) → f −1(x) |
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||
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||
Часть графика в x < 0 |
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|
Часть графика в |
|
Симметричное отобра- |
|
||
отбрасывается, а часть |
|
|
полуплоскости y < 0 |
|
жение относительно |
|
||
графика в x > 0 остается |
|
симметрично отобра- |
|
прямой y = x |
|
|||
и симметрично отобража- |
|
жается относительно |
|
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|||
ется относительно оси Oy |
|
оси Ox |
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|||
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4 Алгебра и начала анализа [П. А. Машаров
an = a · a · . . . · a (n N). √n |
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Степень, корни, их свойства |
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|
= b означает, что b > 0 (если n четно), bn = a. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|||
|
n раз |
|
√n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√n |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||
| {z |
|
|
|
|
|
|
|
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|
1 = 1, |
|
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|
ab = a |
|
|
|
|
|
|
|
b , ab > 0; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 = 0; |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
||||||||||||||||||||||||||
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√n |
|
|
|
|
|
|
| | · |
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
m |
n |
|
|
|
|
m |
, |
если корни |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a/b = |
|
a / |
|
|
|
|
|
b |
, a |
0, b > 0; |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= p a |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
nk |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
√ mk |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
nk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
a = |
√ |
a |
|
, |
|
если корни ; |
|
|
|
√ |
|
|
|
a |
> |
0; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2n+1 |
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
a = |
|
|
a, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2n+1 |
|
|
|
|
|
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
a = b · |
|
|
|
|
|
|
a; |
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|
b a = |b| · |
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|
a, a |
|
0. |
|
Для всех a > 0 степень с рациональным ненулевым показателем вводится по формуле |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
m/n |
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|
√n |
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|
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|
|
β |
rn |
|
|
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||||||
= |
a |
m |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
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||||||||||||||||
a |
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, с действительным: a |
= lim a |
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||||||||||||||||||
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rn→β |
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am · an = am+n, |
rn Q |
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||||||||||
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am : an = am−n, m R, n R. |
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m |
n |
|
|
|
mn |
ab |
n |
|
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n n |
, m R, n |
|
R. |
|
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||||||||||||||||||
|
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a |
n |
= a , |
n |
= a b |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
a |
|
|
an |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
= bn , |
a− |
|
= an , n , a 6= 0. |
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|
2n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
f (x) = g |
|
(x), |
|||||
2 +1 |
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f (x) = g(x) f (x) = g2n+1(x) |
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2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
f (x) = g(x) g(x) > 0. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
g(x) > 0, |
|
|
p |
|
|
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|
|
|
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|
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|||||||||||||||
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( f (x) > g2n(x); |
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g(x) > 0, |
||||||
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2n f (x) > g(x) |
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2n f (x) < g(x) |
|
f (x) < g2n(x), |
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g(x) < 0, |
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p |
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f (x) > 0. |
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p |
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f (x) > 0. |
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( |
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||||
2n |
f |
|
x |
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|
< |
|
2n |
g |
x |
|
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|||||||||
p |
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0 6 f (x) < g(x). |
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||||||||||||
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( |
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|
) |
|
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|
p ( |
|
) |
|
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f (x) > 0, |
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||||||||||||
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( g(x) > 0; |
|
p |
|
|
|
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|
f (x) > 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
f (x) |
· |
g(x) > 0 |
|
|
f (x) |
· |
g(x) > 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
f (x) = 0. |
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|
|
|
|
( g(x) > 0; |
|||||||||||||||||||||
|
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Тригонометрия |
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|||||||||||||
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|||||||||||||
Каждому действительному числу ϕ соответ- |
F (ctg ψ; 1) |
|
|
|
|
|
E(0; 1) |
|
|
D(ctg ϕ; 1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ствует единственная точка Pϕ единичной ок- |
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Pϕ |
C(1; tg ϕ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ружности. Числу 0 ставится в соответствие |
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sin ϕ |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
точка P0(1; 0), а числу ϕ точка Pϕ, полу- |
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Nψ |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
ченная в результате поворота точки P0(1; 0) |
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||||||||||||||||||||||||||||
на угол |ϕ| вокруг начала координат: ес- |
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|
O(0; 0) cos ϕ B(1; 0) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ли ϕ > 0, то поворот выполняется против |
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||||||||||||||||||||||||||||
хода часовой стрелки; если ϕ < 0, то по ча- |
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Mγ |
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|||||||||||||||||||||||||||||
совой. Каждой точке P окружности соот- |
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Kτ |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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ϕ |
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|
ветствует бесконечное множество чисел ви- |
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A(1; tg ψ) |
||||||||||||||||||||||||||||||
да ϕ + 2πn, где n Z. |
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◦ |
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180 |
◦ |
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||||||||||||||||||||||||||||
Связь между градусами и радианами: α рад |
= |
|
π·α◦ |
; n◦ = |
|
|
· |
n рад |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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180 |
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|
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|
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|
|
|
|
|
П. А. Машаров] |
Формулы |
5 |
sin ϕ |
tg ϕ |
|||
В квадратные скобки взяты |
|
|
|
|
√3 |
||||
подписи точек осей tg и ctg, |
||||
в круглые точек окружности. |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
2π |
|
√ |
|
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|
||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
3 |
|
|||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
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||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
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|
|
(π) (−π) |
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||||||||||||
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|
|
√ |
|
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|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
− |
3 |
|
|
|
− |
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
6 |
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
Числа без скобок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
− |
2π |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||
подписывают оси cos и sin. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
[−1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 [0] |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
√2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||
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|
|
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|
||
(π) (−π) |
|
|
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|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
√3 |
2 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
[0] |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
(0) [0] |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
−2 |
|
|
|
|
|
−6 |
|
|
|
− 3 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
− |
3 |
|
−3π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
2 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
− |
2 |
π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−√ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[1] ctg ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
+ϕ |
|
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||||
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√ |
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(0) |
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[0] |
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1 (2π) |
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||||||||
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2 |
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cos ϕ |
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2 |
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−ϕ
5π |
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√ |
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π |
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2 |
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||||
− |
4 |
− |
|
|
−3ππ2 |
−4 |
|
4 |
[−1] |
|||
|
1 |
|||||||||||
4 |
3π |
2 |
|
|
|
7π |
|
|||||
|
|
|
− |
|
|
2 |
|
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√
3 ctg ϕ
+ϕ
cos ϕ
−ϕ
6 |
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Алгебра и начала анализа |
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[П. А. Машаров |
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sin2 α + cos2 α = 1; |
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tg α = |
|
sin α |
; |
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ctg α = |
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cos α |
; |
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cos α |
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sin α |
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|
tg α · ctg α = 1; |
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|
1 + tg2 α = |
1 |
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|
|
; |
|
1 + ctg2 α = |
|
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1 |
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. |
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cos2 α |
sin2 α |
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|
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β; |
|
cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
tg(α |
± |
β) = |
1 |
tg α ± tg β |
|
; |
|
|
|
|
|
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|
ctg(α |
± |
β) = |
ctg α · ctg β 1 |
. |
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tg α |
· |
tg β |
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ctg β |
± |
ctg α |
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|||||||
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|
cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α; |
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|
|
ctg2 α − 1 |
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin 2α = 2 sin α |
· |
cos α; |
|
|
|
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|
tg 2α = |
|
|
|
2 tg α |
|
|
|
; |
|
ctg 2α = |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 − tg2 α |
|
|
|
|
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|
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|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin α |
|
cos β = |
1 |
sin(α |
|
|
β) + sin(α + β) ; |
|
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1 |
|
cos(α |
|
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|
2 ctg α |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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|
sin α |
|
sin β = |
|
2 |
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|
|
β) |
|
|
|
|
cos(α + β) ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
· |
|
|
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|
1 |
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|
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|
− |
|
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· |
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|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|||||||||||||||
cos α · cos β = |
|
cos(α − β) + cos(α + β) . |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
r |
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos α |
= |
|
|
1 + cos 2α |
; |
|
|
sin α |
= |
1 |
|
cos 2α |
; tg α |
|
= |
|
1 − cos 2α |
, tg α = |
|
|
sin 2α |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
| |
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + cos 2α |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | |
r |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
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|
r1 + cos 2α |
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
tg α = |
1 − cos 2α |
; |
|
|
ctg α |
= |
|
|
|
|
1 + cos 2α |
|
, ctg α = |
|
sin 2α |
; ctg α = |
1 + cos 2α |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
r1 − cos 2α |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin 2α |
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
1 − cos 2α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2α |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
sin α + sin β = 2 sin |
α + β |
|
|
· |
cos |
α − β |
; |
|
sin α |
− |
sin β = 2 sin |
α − β |
|
· |
cos |
α + β |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
cos α + cos β = 2 cos |
α + β |
· |
cos |
|
|
α − β |
; |
cos α |
− |
|
cos β = |
− |
2 sin |
α + β |
|
· |
sin |
α − β |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
2 |
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|
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|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
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||||||||||||||||
|
tg α |
± |
tg β = |
|
sin(α ± β) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg α |
± |
|
ctg β = |
sin(β ± α) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos α |
· |
cos β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
sin α |
· |
sin β |
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
y |
|
|
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|
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|
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|
y |
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|||
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|
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|
|||
|
y = sin x |
|
1 |
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
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|
y = cos x |
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||
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−π/2 |
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−π/2 |
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π |
|
|||||||||||
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|
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|
O |
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|
π/2 |
|
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|
x |
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|
|
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|
|
O |
|
|
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|
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
−1 |
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|
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|
−1 |
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||||||
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y |
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y |
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y = tg x |
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y = ctg x |
|
|
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|
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|
|
π/2 |
|
|
π/2 |
−π |
O |
π x |
−π/2 |
O |
π x |
П. А. Машаров] |
Формулы |
7 |
y |
|
y |
π/2 |
|
π |
|
|
|
y = arcsin x |
|
y = arccos x |
−1
π/2
O1 x
−π/2 |
|
|
−1 |
|
|
O |
1 |
x |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
y = arctg x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y = arcctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|||
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π/2 |
||
O |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π/2 |
( , |
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
x |
cos t = a |
± |
arccos a + 2πn, n |
|
Z, |
если |a| |
> 1. |
|||||
|
t = |
|
|
|
|
если |
a |
6 1, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
|
sin t = a |
( , |
− |
1)k arcsin a + πk, k |
|
Z, |
если |
|a| > 1. |
||||
|
t = ( |
|
|
|
если |
a |
6 1, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
cos t = 0 t = π2 + πn, n Z, cos t = 1 t = 2πn, n Z,
cos t = −1 t = π + 2πn, n Z,
sin t = 0 t = πn, n Z,
sin t = 1 t = π2 + 2πn, n Z,
sin t = −1 t = −π2 + 2πn, n Z.
tg t = a t = arctg a + πn, n Z, |
tg t = 0 t = πn, |
n Z, |
|
||||||||
ctg t = a t = arcctg a + πn, n Z, |
ctg t = 0 t = |
π |
+ πn, |
n Z. |
|
||||||
2 |
|
|
|||||||||
|
Прогрессии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Арифметическая: a1, a2 = a1 + d, a3 = a2 + d, . . . : an+1 = an |
+ d. an = a1 + d · (n − 1); |
||||||||||
Геометрическая: b1, b2 = b1q, b3 |
= b2q, . . . : bn+1 |
= bn · . bn = |
1 · |
− |
|
n = |
|
n−k · |
n+k |
||
an = (an−k + an+k)/2; Sn = (a1 |
+ an) · n/2 = 2a1 + d · (n − 1) · n/2. |
|
|
|
|
||||||
Sn = b1(1 − qn)/(1 − q) = (b1 − bn+1)/(1 − q). |
|
q |
b qn 1; b2 |
b |
|
b ; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: |q| < 1. S∞ = b1/(1 − q). |
|
|
8 |
Алгебра и начала анализа |
[П. А. Машаров |
|
Показательная и логарифмическая функции |
|
Логарифмом положительного числа b (b > 0) по основанию a (a > 0, a 6= 1) называется показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b; обозначение loga b. Десятичными логарифмами называют логарифмы, основание которых равно 10, обозначаются они символом lg: log10 b = lg b. Натуральными логариф-
мами называют логарифмы, основание которых равно числу e e |
lim |
1 |
1/n |
|
|||||
1 + n |
|
≈ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
:= n→+∞ |
|
||
2,7182818 , обозначаются они символом ln: loge b = ln b. |
|
|
|
|
|||||
loga b |
= b, loga 1 = 0, |
loga a = 1 |
(a, b > 0, a 6= 1); |
|
|
|
|||
a |
|
|
|
||||||
loga(xy) = loga x + loga y |
(a, x, y > 0, |
a 6= 1); |
|
|
|
|
|||
loga |
x |
= loga x − loga y |
(a, x, y > 0, |
a 6= 1); |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
loga b = logc b logc a
loga bp = p loga b,
y
y = ax, a > 1
(a, b, c > 0, a, c =6 1);
1
logaq b = q loga b (a, b > 0, a 6= 1
y
y = ax, 0 < a < 1
|
|
a |
|
|
|
1/a |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
y |
|
O |
1 |
x |
−1 O |
1 |
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
y = loga x, 0 |
< a < 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
1 |
a |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
O 1 |
a |
x |
|
|
y = loga x, a > 1 |
−1 |
|
|
|
logg(x) f (x) = b
loga f (x) = loga g(x) a > 0, a 6= 1
( g(x) = 1, f (x) = g(x) b |
; |
|
|
|
|
f (x) > 0, g(x) > 0, |
|
|
0 |
|
|
f (x) > 0, |
g( ) |
|
|
||
6 |
или f (x) = g(x). |
||||
f (x) = g(x) |
|||||
|
x |
|
> |
|
, |
П. А. Машаров] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(x) |
f (x) |
< h(x) |
g(x) |
|
( h(x) |
|
|
1 g(x) |
|
|
|
h(x) > 0, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
− |
|
f (x) > 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(x) > 0, h(x) = 1, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
logh(x) f (x) < logh(x) g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 g(x) |
|
|
f (x) > 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(x) |
− |
− |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предел |
последовательности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim x |
|
|
|
= A |
|
|
|
|
|
ε > 0 |
|
N (ε) : |
|
|
n > N (ε) |
|
x |
|
|
A |
< ε. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
n − |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim (x |
|
|
+ [ |
|
, , / ]y |
|
) = lim x |
|
|
+ [ |
|
, , / ] lim y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
n |
|
|
− · |
|
n |
|
n→∞ |
|
n |
|
|
|
− · |
|
n→∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lim np/an = 0 (a > 1); lim an/n! = 0; |
|
lim n!/nn = 0; lim √n |
|
= 1 (a > 0); lim √n |
|
= 1; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
√n |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n)/n |
p |
|
= 0 (0 < a = 1, p > 0). e := lim |
|
1 + (1/n) |
n |
|
2,718. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim 1/ |
|
n! = 0; lim (log |
|
|
|
|
≈ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
→∞ |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предел функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
lim f (x) = A |
|
|
ε > 0 |
|
δ(ε) : |
|
x: |
0 < x |
x |
0| |
< δ(ε) |
|
|
|
f (x) |
− |
A |
< ε. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| − |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
∞ |
|
: x |
n n→ |
|
x |
, x |
= x |
0 |
|
f (x |
|
) |
|
|
|
|
|
A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
n}n=1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
n 6 |
|
|
|
|
|
n |
n→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 1 + x 1/x |
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim sin x |
|
= 1; |
= lim 1 + |
= e; |
lim |
loga(1+x) |
|
= |
|
1 |
|
(a > 0, a = 1); |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
ln a |
|
|
|
6 |
||||||||||||
→ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim a |
|
−1 |
= ln a (a > 0); lim |
(1+x) −1 |
= α. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Прямая x |
= |
|
x |
0 |
называется вертикальной асимптотой f x |
, если lim f (x) = |
∞ |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
Прямая y = kx + b является наклонной (при k = 0 горизонтальной) асимптотой
функции y = f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = lim |
f (x)/x |
|
= |
|
|
|
, |
|
|
b = lim |
f (x) |
− |
kx |
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 ∞ |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
6 ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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Таблица эквивалентных |
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
Если h → 0, то: |
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin h, |
tg h, |
|
|
|
arcsin h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
th h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
− |
1 |
|
h ln a, |
|
loga(1 + h) |
|
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, |
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||||||||||||||||||
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arctg h, |
sh h, |
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h |
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ln a |
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2 |
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h |
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p |
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h |
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|
||||
|
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e |
− 1, |
|
ln(1 + h) |
|
|
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|
(1 + h) |
|
|
− 1 p · h, |
|
1 − cos h |
2 . |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Производная функции |
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|
f ′(x0) = lim |
f (x)−f (x0) |
|
= |
|
lim |
f (x0+Δx)−f (x0) |
. |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
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x |
→ |
x0 |
|
x−x0 |
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x 0 |
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x |
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|||||
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|
→ |
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|
|
|
||
Если закон движения s(t), тогда скорость v(t) = s′(t), ускорение a(t) = v′(t) = s′′(t). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Уравнение касательной к графику y = f (x) в точке x0: y = f ′(x0) · (x − x0) + f (x0), |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f ′(x0) – угловой коэффициент касательной, тангенс угла ее наклона. |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Правила дифференцирования |
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′ |
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||||||||||||||||||||||||||
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u |
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′ |
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u′v |
|
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uv′ |
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||
(u |
|
|
v)′ |
= u′ |
|
|
v′ |
; (Cu)′ |
|
= Cu′; (uv)′ = u′v +uv′; |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
2 |
; f g(x) = f ′ g(x) |
|
g′(x). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
± |
± |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
− |
|
· |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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v |
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|||||||
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Таблица |
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производных |
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||||||||||||
xα ′ = αxα−1. |
ln x |
|
′ = |
|
1 , x > 0. |
|
log |
|
x ′ |
|
= |
|
|
|
1 |
|
, |
a > 0, a = 1, x > 0. |
|
|
ex ′ = ex. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x′ln a |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x ′ |
|
|
|
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x |
|
|
|
|
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|
|
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|
|
x |
|
′ |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
′ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
||||||||
|
a |
|
|
= |
a |
|
ln |
a, |
a > |
0 |
. |
|
sin |
x |
|
= cos |
x. |
|
cos x |
|
|
|
= |
|
− |
sin x. |
tg x |
|
= |
2 |
x |
. |
|
|
ctg x |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
. |
arcsin x ′ = |
|
|
√ |
1 |
|
|
. |
arccos x ′ = |
|
|
√ |
1 |
|
. |
|
arctg x ′ = |
|
1 |
. arcctg x |
|
′ = |
|
|
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
1+x2 |
|
|
|
1+x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
x |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
1 |
− |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
10 |
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|
|
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|
|
Алгебра и начала анализа |
|
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|
|
|
[П. А. Машаров |
|||||||||||||||||||||
Разложение по формуле Тейлора–Маклорена элементарных функций |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
При x → 0 выполняются равенства |
|
|
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|||||||||||||||
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|
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|
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|
|
x2 |
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
xk |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ex = 1 + x + |
2! |
+ . . . + |
|
n! |
+ o xn |
|
|
= |
k=0 |
|
k! |
+ o xn |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
x2n+1 |
|
|
+ o x2n+2 |
n |
|
X |
|
|
x2k+1 |
|
|
+ o x2n+2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
sh x = x + |
|
|
|
|
+ . . . + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(2n + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
(2k + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
x2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ch x = 1 + |
|
|
+ . . . + |
|
|
|
+ o x2n+1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ o x2n+1 |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
(2k)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
sin x = x |
|
|
|
x3 |
+ . . . + |
(−1)nx2n+1 |
+ o x2n+2 |
|
= |
|
|
|
|
(−1)kx2k+1 |
+ o x2n+2 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3! |
|
|
|
|
|
|
(2n + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
(2k + 1)! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
cos x = 1 |
|
x2 |
+ . . . + |
(−1)nx2n + o x2n+1 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
X |
(−1)kx2k + o x2n+1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2! |
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
(2k)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(1 + x)α = 1 + αx + |
α(α − 1) |
x2 + . . . + |
α(α − 1) . . . (α |
|
n + 1) |
xn + o xn |
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln(1 + x) = x |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
2! |
(−1) |
n 1 |
x |
n |
+ o xn |
|
= |
|
|
n n! |
|
|
−k+1 |
x |
k |
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ . . . + |
− |
|
|
|
|
X |
(−1) |
|
|
|
+ o xn |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
X n |
|
|
k |
x2k+1 |
|
|
|
|
|
2n+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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arctg x = |
(−1) |
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+ o x |
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; |
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2k + 1 |
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k=0 |
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(2k − 1)!! x2k+1 + o x2n+2 |
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. |
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arcsin x = x + |
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X |
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k=1 2kk!(2k + 1)