4.2 Проверка гипотезы о некоррелированности

двух распределений

Положим, имеются две случайные величины и , распределенные по нормальному закону. Чтобы проверить гипотезу о независимости случайных величин и находится коэффициент корреляции

, (4.8)

который сравнивается с порогом . Если выполняется условие , гипотеза не отвергается, т.е. считается, что случайные величины и независимы. Однако применение этого критерия связано с предположением о нормальности распределений случайных величин и . Если это условие не соблюдается, выводы о зависимости или независимости случайных величин и неверны.

Рассмотрим критерий проверки гипотезы о некоррелированности случайных величин и , свободный от типа распределения вероятности случайных величин и . Предположим, произведены выборки = и = . Каждую из последовательностей и можно получить способами. Можно считать, что один из случаев дал возможность составить пары . Если одну из последовательностей не переставлять, получим возможных инверсий. По полученным парам производится проверка гипотезы о некоррелированности случайных величин и .

Если последовательности и не коррелированны, то это свойство должно сохраниться и для последовательности рангов относительно пар . Свойство некоррелированности инвариантно относительно парных перестановок элементов последовательности и последовательности , [3].

Следуя утверждению [3], составим последовательность пар рангов для последовательностей и таким образом, чтобы рангам элементов сопоставлялись ранги элементов .

1. Для этого построим вариационный ряд для последовательности и определим ранги элементов . Точно также определим ранги элементов последовательности . Произведем ранжирование рангов последовательности и занесём их в первую строку таблицы 4.2.

2. Во вторую строку таблицы 4.2 записываются элементы последовательности соответствующие их рангам.

3. Третья строка таблицы 4.2 заполняется значениями последовательности , сопоставляемые значениям элементов последовательности , т.е. образуются пары ( , ).

Таблица 4.2

				...
				...
				...
				...

4. В четвертую строку заносятся значения рангов последовательности .

В результате, выписывая только первую и четвертую строки, получим таблицу 4.3 пар рангов последовательностей и .

Таблица 4.3

	1	2	3		m

Пример 4.1. Положим, в результате эксперимента получены данные и , которые ранжированы в следующем порядке: , .

Заполним таблицы Пр 4.1 и Пр 4.2.

Таблица Пр 4.1

	1	2	3	4	5
	2	5	4	1	3

Таблица Пр 4.2

	1	2	3	4	5
	2	5	4	1	3

Для проверки гипотезы о некоррелированности последовательностей и предложено несколько критериев [4]: критерий Спирмена, критерий Кендала, критерий Кендала-Бэбингтона (критерий согласованности). Рассмотрим критерий Спирмена. Для проверки гипотезы о некоррелированности последовательностей и Спирменом введен коэффициент ранговой корреляции, равный

. (4.9)

Для числа экспериментов от 4 до 10 Спирменом получено распределение и составлены таблицы [4, таблица 6.10а, стр. 363]. Распределение вероятности симметрично относительно математического ожидания и сосредоточено на отрезке . Пользуясь симметричностью распределения , можно вычислить вероятность

.

Если гипотеза верна,

, , (4.10)

, .

П ример 4.2. (продолжение примера 4.1). Необходимо по результатам примера 4.1 построить критическую область (найти критические значения для коэффициента корреляции ) при проверке гипотезы о некоррелированности последовательностей и с уровнем значимости =0.1.

Ввиду того, что коэффициент корреляции может принимать как отрицательные, так и положительные значения, то должны рассматривать двустороннюю гипотезу и определить критические значения и , Рис. 4.1. Критическими областями в этом случае будут интервалы , с уровнями значимости по = = 0.05.

В таблице [4, таблица 6.10а, стр. 363] нет точного значения вероятности , поэтому нужно воспользоваться линейной интерполяцией. Определим ближайшие к большее и меньшее значения , :

,

,

Определим пороговое значение с помощью формулы

=

= .

Так как принимает только целые значения, примем = 37.

Рассчитаем по формуле нижнее критическое значение: = -0.85. Верхнее критическое значение, в силу симметричности распределения будет равно = 0.85. Критическими областями будут интервалы (-1, -0.85) и (0.85, 1)

Используя (4.9) и таблицу Пр 4.2, определим экспериментальные значения = 24 и -0.2. Статистика -0.2 не принадлежит критическим областям, поэтому гипотеза о некоррелированности последовательностей и не отвергается.

При числе экспериментов, превышающих =10, распределение коэффициента корреляции хорошо апроксимируется нормальным распределением [4] с математическим ожиданием, равным нулю и дисперсией .

Вероятность превышения порога коэффициентом корреляции равна,[4, стр.98],

,

где ,

,

- обратная функция нормального распределения с параметрами (0, 1). Величина - квантиль нормального распределения находится как решение уравнения при известном .

Пример 4.3. Произведено =30 экспериментов над случайными величинами и получены ряды наблюдений и . Взаимное расположение точек показано на рисунке 4.2.

Необходимо проверить гипотезу о некоррелированности последовательностей и . Уровень значимости =0.05.

Используем двустороннюю гипотезу с уровнем значимости = 0.025.

Определим = и

Нижняя граница критической области равна = =-0.362.

Для моделирования случайных величин, распределенных по нормальному и равномерному законам, и определения коэффициента корреляции Спирмена составлена программа в пакете Математика. Программа – 3 вычисления коэффициента корреляции Спирмена приведена в приложении.

Согласно критерию Спирмена определим по формуле (4.9) значение =-0.204004.

Ввиду того, что удовлетворяет неравенству -0.362 < < 0.362, гипотеза не отвергается, т.е. выборки и не коррелированны.

Недостатком критерия Спирмена [3] является то, что возможна ситуация, когда выборки и зависимы, но = 0 и гипотеза не отвергается. В этом случае данный критерий будет несостоятельным и следует применить другой критерий для проверки гипотезы о независимости выборок и .