4. Свободные от распределения методы

для непараметрических задач

Как известно, оценка параметров по методу максимума правдоподобия, проверка гипотез по критерию отношения правдоподобия и ряд других задач предполагает, что распределение выборочных значений априорно известно. Но на практике встречаются задачи, когда неизвестно распределение . Поэтому приходится решать эти задачи методами свободными от распределения вероятности выборочных значений .

Критерий проверки непараметрических гипотез основан на принципе равной вероятности всех возможных выборок объема , количество которых равно . Выборки образованы перестановками (инверсией) членов выборки , и для каждой перестановки вероятность её реализации равна . Если верна проверяемая гипотеза , то ей соответствует некоторое множество перестановок. При построении критерия проверки гипотезы необходимо найти критическое множество, определить мощность критерия, значимость его и состоятельность.

4.1 Критерий об однородности двух выборок

Рассмотрим следующую проблему. Производятся измерения одной и той же физической величины разными приборами, имеющими разные погрешности измерений. Необходимо проверить гипотезу о том, что эти измерения имеют одну и ту же функцию распределения . Применим критерий Вилкоксона для решения этой непараметрической задачи.

Положим, имеются две последовательности измерений (выборки) и , выполненные разными приборами. Проверяется гипотеза о том, что

, (4.1)

. (4.2)

Гипотезе соответствует одно из соотношений

или

.

Соотношения (4.1) и (4.2) эквивалентны утверждению: проверяется гипотеза о том, что выборки и принадлежат одной и той же генеральной совокупности.

Вилкоксоном была решена эта задача для , Манном и Уитни эта же задача была решена для , [16]. Поэтому в литературе можно встретить эту задачу под именем критерий Вилкоксона [4] или критерий Манна-Уитни, [16].

Составим из величин и вариационный ряд, т.е. расположим их в порядке возрастания их значений, положим . Полученный ряд в математической статистике называется порядковой статистикой. Например, получен следующий ряд

x

y

x

y

x

x

y

y

x

y

y

x

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

N-2

N-1

N

где .

Представленная таблица является примером реализации одной из перестановок последовательностей и .

Нижний ряд чисел указывает взаимное расположение и , т.е. ранги величин и в вариационном ряде. В частности, для приведенного примера ранги последовательности имеют следующие значения

Пусть - ранги, соответствующие последовательности . Статистика критерия Вилкоксона задается формулой

(4.3)

Распределение статистики зависит от вида перестановки в [4, Таблица 6.8] приведены таблицы нижних критических значений статистики , соответствующие уровню значимости для . Если объем выборки или больше 25, статистика распределена асимптотически нормально с математическим ожиданием и дисперсией соответственно

, . (4.4)

Более точная формула распределения статистики имеет вид

, (4.5)

где ,

.

Статистика принимает только целочисленные значения. Поэтому следует выбирать такое целочисленное граничное значение , которое удовлетворяло бы системе неравенств

, . (4.6)

При проверке двусторонней гипотезы необходимо найти нижнее критическое значение и верхнее критическое значение . Верхнее и нижнее критические значения связаны между собой соотношением

. (4.7)

Пример 4.1. Положим, произведены две выборки и , n = m = 10, значения которых приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1

x	y	ранг

В третьем столбце указаны ранги элементов по отношению к элементам выборки y. Значение статистики .

По таблицам [4, Таблица 6.8, стр. 357] определим критическое значение для уровня значимости =0,025: =78. Верхнее критическое значение определяется по формуле (4.7) и равно =210-78=132.

Вывод. Обе выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, так как статистика не принадлежит ни одной критической области (0, 78), (132, )

С целью определения уровня значимости для критерия Вилкоксона было проведено моделирование процедуры проверки гипотезы о том, что две выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности. Число серий экспериментов принято . В результате было принято правильных решений 9538 раз, уровень значимости составляет =0.0462. Программа - 2 моделирования процедуры проверки гипотезы о принадлежности двух выборок одной и той же генеральной совокупности приведена в Приложении .