Дополнение к § 6 (Приведение к диагональному виду ортогональными преобразованиями)

Покажем, что у симметричной матрицы все собственные числа вещественны. Итак, пусть:

, где λ и Х – комплексные. Тогда, переходя к сопряженным, получим: , или .

Вычислим , где

Отсюда:

, и, следовательно, , то есть λ вещественно. Далее мы воспользуемся тем фактом, что у Q число собственных векторов равно п (см. 4). Легко показать, что если Х и У принадлежат разным собственным числам λ и μ, то они ортогональны:

Если Х и У принадлежат одному собственному числу λ, то, используя метод ортогонализации Штурма, их можно заменить на ортогональные собственные вектора, принадлежащие числу λ. Таким образом, у матрицы Q можно найти п ортогональных собственных векторов . Умножая на скалярный множитель, можно добиться, что . Тогда положим . Имеем:

Тогда:

И, взяв за матрицу перехода , построим базис, в котором матрица скалярного произведения становится диагональю.

§ 7. Квадратичные формы.

Определение 22. Пусть дана симметричная матрица Q и вектор , координаты которого являются переменными. Тогда многочлен:

Называется квадратичной формой. А матрица Q называется матрицей квадратичной формы.

Легко видеть, что по квадратичной форме можно восстановить матрицу Q. Действительно, пусть:

Тогда полагаем:

.

Получается взаимнооднозначное соответствие между матрицами и квадратичными формами. Если в квадратичной форме провести замену переменных ( , то получим:

Пусть , тогда:

.

Таким образом, переход к другим переменным соответствует переходу к другому базису, причем - матрица перехода (см. § 6). Поэтому последние результаты § 6 можно истолковать как приведение квадратичной формы к диагональному виду ортогональными преобразованиями, то есть соответствующими движению в пространстве. Геометрически это означает, что, взяв уравнение поверхности второго порядка , мы передвигаем систему координат так, чтобы уравнение поверхности приняло простейший (канонический) вид: .

Пример.

; найдем собственные числа матрицы Q.

А) Найдем собственные вектора, соответствующие собственному числу .

Построим пару ортогональных собственных векторов.

;

Б) Теперь ищем собственные векторы для

,

Следовательно, сделав замену:

Получим уравнение:

Таким образом, исходная поверхность второго порядка представляет собой эллипсоид вращения, с полуосями , и .

Задачи к § 6 и § 7.

1. Найти скалярное произведение векторов , в базисе

2. Найти скалярное произведение векторов , в базисе

3. Пусть скалярное произведение задается формой:

. Найти скалярное произведение векторов и

4. Пусть скалярное произведение задается формой:

. Найти скалярное произведение векторов:

,

5. Построить оригинальный базис в пространстве

6. Построить оригинальный базис в пространстве

7. Построить ортогональный базис в пространстве

8. Привести квадратичную форму к диагональному виду при помощи ортогональных преобразований.

9. Привести квадратичную форму к диагональному виду при помощи ортогональных преобразований.