§ 4. Композиция линейных отображений.
Пусть даны линейные пространства V1, V2, V3 и линейные отображения L1: V1→V2; L2: V2→V3. Рассмотрим отображение L3: V1→V3, определенное формулой: для любого х из V1: L3 L2(L1(х))
Утверждение. L3 – линейное отображение.
Доказательство. Пусть V1, V2 V1 и α, β – любые числа.
L3
L2(L1
L2(αL1
+βL1
αL2(L1
)+βL2(L1
)=αL3
+βL3
Теорема 4.
В обозначениях, введенных выше: dim
kerL3=dim
kerL1+dim(kerL2
imL1)
Доказательство.
Пусть а1,
…, аr
– базис пространства kerL2
imL1
и V1,
…, Vr
– такие
вектора из V1,
что L1
=а1,
…, L1
.
Пусть e1,…,eS
– базис
подпространства kerL1.
Покажем, что V1,
…, Vr,
e1,…,eS
линейно
независимы. Пусть числа
таковы, что:
.
Применим к этому равенству отображение L1 . Тогда получим:
,
и так как а1,
…, аr
– базис, то
.
Отсюда:
,
и, следовательно,
=0.
Итак V1,
…, Vr,
e1,…,eS
линейно
независимы. Пусть теперь
L3.
Тогда L2(L1(х))=L3(х)=
.
Следовательно, L1(х)
kerL2
imL1.
Поэтому существуют такие числа
что:
L1(х)
Рассмотрим вектор
.
Имеем:
L1(
)=L1(х)
Поэтому
L1.
Отсюда получаем:
.
Окончательно:
То есть V1, …, Vr, e1,…,eS базис kerL3. Так как S=dim kerL1, r=dim(kerL2 imL1), то:
dim kerL3=dim kerL1+dim(kerL2 imL1) и теорема доказана.
Матрица композиции.
Пусть в V1,
V2,
V3
зафиксированы
базисы
,
,
.
И в этих базисах отображению L1
соответствует матрица:
А отражению L2 соответствует матрица:
Тогда мы имеем:
L3(ej)=L2(L1(ej))=L2
L2
Из правил умножения матриц следует, что отображению L3=L2◦L1 соответствует матрица:
Исследуем теперь,
что происходит с матрицей линейного
отображения при изменении базиса. Пусть
дано линейное пространство V,
и в нем два базиса:
и
.
Возьмем произвольный вектор х
и рассмотрим
его координаты в этих базисах. Найдем,
как они связаны. Для этого обозначим IV
– тождественное отображение пространства
V.
То есть:
для любого х
из V.
Имеем:
Пусть P
– матрица отображения
в базисах
и
.
По доказанному выше, если
,
то его координаты в базисе
(так как
)
находятся по формуле:
Матрица Р называется матрицей перехода от базиса к базису .
Рассмотрим теперь более общую ситуацию:
Пусть Р – матрица
перехода от базиса
к базису
;
Q
– матрица перехода от базиса
к базису
.
Далее, пусть L
– матрица, соответствующая отображению
L
в базисах
и
,
а
- матрица, соответствующая отображению
L
в базисах
и
.
По формуле для матрицы композиции
линейных отображений имеем:
.
Применив эту формулу к случаю:
,
Получим:
,
где Еп
– единичная матрица. Отсюда
.
И, следовательно, если Р – матрица
перехода от базиса
к базису
,
то матрицей перехода от базиса
к базису
.будет
матрица Р-1.
§ 5. Двойственное пространство и двойственное отображение.
Определение 14. Функционалом на линейном пространстве V называется отображение V в множество чисел.
Определение 15.
Линейным функционалом на линейном
пространстве V
называется функционал F
со свойством: для любых векторов
V
и для любых двух чисел α, β:
Введем для линейных функционалов, заданных на линейном пространстве V, структуру пространства следующим образом. Пусть f и g – линейные функционалы. Тогда для любого х из V и любого числа а:
Предложение.
f+g
и
- линейные функционалы.
Доказательство.
.
Аналогично доказывается, что αf – линейные функционалы.
Теорема 5. Множество линейных функционалов, заданных на линейном пространстве V, образуют линейное пространство (относительно введенных операций).
Доказательство. Надо проверить 10 равенств, определяющих линейное пространство. Пусть х – любой вектор из V.
1.
.
Следовательно,
.
2.
Следовательно,
.
3. В качестве нулевого элемента возьмем нулевой функционал О*, т.е. функционал, равный 0 для всех векторов из V.
.
Следовательно,
.
Аналогично проверяются оставшиеся равенства.
Определение 16. Введенное выше линейное пространство называется двойственным к линейному пространству V и обозначается V*.
Определение 17.
Пусть в
линейном пространстве V
выбран базис
.
«Двойственным базисом» называется
система функционалов
из V*
со свойством:
Заметим, что определение корректно, так как линейное отображение полностью определено своими значениями на векторах базиса, а сами эти значения могут заданы произвольно.
Теорема 6. «Двойственный базис» является базисом линейного пространства V*.
Доказательство. Пусть - базис в линейном пространстве V, и - «двойственный базис». Пусть:
.
Тогда для любого i:
.
Следовательно,
и
линейно независимы. Пусть f
- некоторый линейный функционал из V*,
и пусть:
.
Рассмотрим линейный функционал:
.
Для любого х из V имеем: .
.
Следовательно,
.
И мы получаем
,
что и доказывает теорему.
Определение 18.
Пусть дано линейное отображение L:
V1→V2
линейных пространств V1
и V2.
Двойственным
отображением называется отображение
L*:
V1*→V2*
двойственных пространств, определенное
формулой: L*
(L(x)),
где
.
Предложение. L* - линейное отображение.
Доказательство. Пусть α, β – произвольные числа, х – произвольный вектор из V1, f и g – функционалы из V2*.
.
Предложение доказано.
Предложение. Матрица двойственного отображения в двойственных базисах является транспонированной матрицей соответствующего линейного отображения.
Доказательство. Пусть:
L: V1→V2
L*: V1*→V2*
Зафиксируем в V1
базис
,
и в V2
базис
.
Пусть
и
- двойственные базисы. L
– матрица отображения L:
.
Тогда:
L
L*
L
Пусть
L*
.
L*
.
Следовательно,
и L*
.
Тогда матрица L*, соответствующая отображению L*, имеет вид:
.
Предложение доказано.
Теорема 7. rang L=rang L*.
Доказательство. Пусть:
L: V1→V2
L*: V2*→V1*
.
- базис пространства
V1.
Пусть rang
L=
.
Это означает, что среди векторов L(е1),…
L(еп)
– S
линейно независимых. Пронумеровав их,
будем считать, что это вектора L(е1),…
L(еS).
Далее имеем:
(a)
Дополним совокупность
векторов до базиса пространства V2:
L(е1),…
L(еS),
.
Рассмотрим двойственный базис:
L(е1)*,…
L(еS)*,
.
Пусть тогда i=1…S
L*
L
Рассмотрим:
Тогда для любого j:
.
Следовательно, - нулевое отображение, и:
Итак, L*(η1)*,… L*(ηт-S)*выражаются через L *(L(е1)*),… L *(L(еS)*).
Покажем, что последние линейно независимы. Пусть:
Тогда:
Следовательно,
.
Поэтому элементы L
*(L(е1)*),…
L
*(L(еS)*)
линейно
независимы. Таким образом:
.
Что и требовалось доказать.