§ 3. Линейные отображения.

Определение 8. Пусть V₁ и V₂ – линейные пространства. Отображение L: V₁→V₂ из V₁ в V₂ называется линейным, если для любых U, V V₁ и любых чисел α, β:

L L(U)+βL(V)

Определение 9. Множество элементов из V_1, для которых L(V)=O_V2, называется ядром линейного отображения L и обозначается kerL.

Определение 10. Множество векторов а из V₂, для которых существует такой вектор V из V_1, что L(V)=а, называется образом линейного отображения L и обозначается imL.

Теорема 3. Образ и ядро линейного отображения L являются линейными подпространствами.

Доказательство. Пусть V₁, V₂ kerL.Тогда для любых двух чисел α, β:

L L L . То есть L. И в силу предложения из предыдущего § kerL является линейным подпространством в V_1.

Пусть L. Тогда существуют такие V₁, что L(V₁)=а₁ и L(V₂)=а₂. Тогда для любых чисел α, β: L L L . Следовательно, L. И как и выше, imL – линейное подпространство в V_2.

Определение 11. Размерность образа: dim(imL) называется рангом линейного отображения L и обозначается rangL.

Пусть дано линейное отображение L: V₁→V₂. Рассмотрим уравнение:

1) L(х)=b

Для разрешимости этого уравнения необходимо и достаточно, чтобы b imL. То есть:

2) dim{imL,b}=rangL

Пусть imL и V₁, V₂ V₁, таковы, что L(V₁)=L(V₂)=b. Тогда L(V₂-V₁)= L(V₂)- L(V₁)=b-b=O_V2. Следовательно, V₂-V₁ kerL. Пусть L(V)=b и kerL. Тогда L L +L . Таким образом, если b imL, то все решения уравнения (1) получаются из одного путем добавления к нему элементов из kerL. То есть решения уравнения (1) имеют вид kerL, где L(V_O)=b. Как следствие получим: для того, чтобы уравнение (1) имело единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы b imL и kerL .

Замечание. Ниже будет рассмотрена связь между линейными отображениями и матрицами. Тогда, если переформулировать указанные выше утверждения в терминах матриц, мы получим известную теорему Кронекера-Капелли.

Определение 12. Если kerL=O_V1, то L называется мономорфизмом. Если imL=V₂, то L называется эпиморфизмом. Если L мономорфизм и эпиморфизм, то L называется изоморфизмом.

Связь линейных отображений с матрицами.

Пусть дано линейное отображение L линейного пространства V₁ в линейное пространство V_2. Пусть - базис V₁, а - базис V_2. Для любого х из V₁ имеем:

L L L

Пусть L ,

Тогда L .

Введем матрицу L

3)

Тогда координаты вектора L(х) можно вычислить по формуле:

Определение 13. Матрица, определенная равенством (3), называется матрицей линейного отображения L в базисах ; .

Обратно. Если есть некая матрица:

и два пространства: V₁ c базисом и V₂ с базисом , то можно задать линейное отображение L формулами:

L ,

L L L L

Замечание. Рангом матрицы называют наибольший порядок минора матрицы, отличного от нуля. Можно показать, что ранг матрицы равен рангу линейного отображения. А именно изменяя базисы в пространствах V₁ и V₂ мы все сведем к случаю матрицы вида:

,

Где на пустых местах стоят нули. Заметив, что dim{imL,b} равна рангу матрицы:

, получим теорему (теорема Крокенера-Капелли): чтобы система:

Имела решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был равен рангу матрицы .