24.3. Момент інерції твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі. Радіус інерції.

Якщо тіло здійснює не поступальний рух, тоді для характеристики розподілу мас тіла відомості тільки про положення центра мас недостатньо.

Наприклад, якщо збільшити відстань від осі кожної з кульок (рис. 24.1) на одну й ту саму величину, то при цьому положення центра мас не зміниться, але розподіл мас стане іншим.

Це зумовить інший характер обертання стержня АВ навколо осі Оz. Обертання стане більш сповільненим.

Врахувати такий розподіл мас дозволяює осьовий моменти інерції тіл.

О сьовий момент інерції тіла – це фізична величина, що характеризує міру інертності тіла під час його обертального руху навколо нерухомої осі.

Моментом інерції твердого тіла відносно деякої осі називається скалярна величина, яка дорівнює сумі добутків маси кожної з точок тіла на квадрат відстані від точки до даної осі (рис. 24.2):

; . (24.5)

При неперервному розподілі мас суми у формулах (24.5) переходять в інтеграли по всій масі тіла:

; ;

. (24.6)

Тут – елементарний об’єм, координати якого x, y, z і маса ; – густина матеріалу об’єму.

Іноді зручно виразити момент інерції тіла відносно осі за допомогою радіуса інерції.

Радіусом інерції тіла називається відстань від осі до деякої уявної точки, в якій необхідно зосередити масу даного тіла, щоб момент інерції цієї точки відносно заданої осі дорівнював моменту інерції тіла відносно тієї самої осі:

, (24.7)

де – маса тіла; – радіус інерції тіла відносно осі Ох:

. (24.8)

24.4. Теорема про моменти інерції тіла відносно паралельних осей:

М омент інерції тіла відносно довільної осі дорівнює моменту інерції відносно осі, яка паралельна їй і проходить через центр мас тіла, плюс добуток маси тіла на квадрат відстані між осями ( ).

Доведення. Центр мас тіла обираємо за початок відліку системи координат (рис. 24.3). Візьмемо на осі довільну точку за початок нової системи координат , осі якої паралельні до осей вибраної системи відліку . При цьому осі і збігаються.

Позначимо через відстань між осями і .

Визначимо моменти інерції даного тіла відносно осей і :

,

.

Встановимо залежність між координатами і ; і . З рис.24.3 видно, що = , звідки .

Тоді .

Крім того .

Підставивши ці значення в вираз для , отримаємо:

.

Тут перший доданок – момент інерції тіла відносно осі . Третій доданок дорівнює добутку маси тіла на квадрат відстані між осями і , тобто

.

Для визначення другого доданку скористаємось першою з формул координати центра мас системи (22.4). Звідки

.

Тоді

,

оскільки за вибором системи відліку.

Остаточно маємо

. (24.9)

Теорему доведено.

24.5. Приклади визначення моментів інерції тіл канонічної форми

1. Моменти інерції тонкого однорідного стержня.

В изначимо моменти інерції однорідного стержня масою і довжиною відносно осі , перпендикулярної до стержня. Вісь спрямуємо уздовж стержня (рис.24.4).

В

Рис.1

иділимо елементарну ділянку стержня довжиною , яка знаходиться на відстані від точки .

Маса цієї ділянки стержня на початку відліку

де – густина матеріалу, S – площа поперечного перерізу стержня.

Тоді момент інерції стержня відносно осі дорівнює:

.

Оскільки маса всього стержня

,

то

. (24.10)

Для визначення моменту інерції стержня відносно осі , яка проходить через центр мас стержня, скористаємось теоремою про моменти інерції тіла відносно паралельних осей:

,

звідки

,

тобто

. (24.11)

2 . Моменти інерції однорідного кільця або порожнистого циліндра.

Кільце радіуса має площу поперечного перерізу і густину матеріалу . Тоді маса кільця дорівнює:

.

Спрямуємо вісь перпендикулярно до площини рисунка та визначимо відносно неї момент інерції кільця (рис. 24.5).

Якщо виділити елементарну ділянку кільця довжиною з центральним кутом , то маса цієї ділянки кільця дорівнює:

Тоді для моменту інерції кільця відносно осі маємо:

,

або . (24.12)

3. Момент інерції кругової однорідної пластини, диска або циліндра.

Р озглянемо однорідну кругову пластину (рис. 24.6) радіуса і масою

,

де – густина матеріалу, h – товщина пластини

Виділимо елементарне кільце радіусами і . Маса цього кільця дорівнює:

.

Момент інерції цієї пластини відносно центральної осі Оz, яка перпендикулярна до пластини, становить:

або

.

Отже,

. (24.13)