Лекція 31 принцип д’аламбера. Головний вектор і головний момент сил інерції

31.1. Принцип д’Аламбера для матеріальної точки

Розглянемо рух невільної матеріальної точки під дією заданих сил. Векторне рівняння руху цієї точки з урахуванням реакцій в’язей має вигляд:

.

Тут – рівнодійна заданих сил, – рівнодійна реакцій в’язей.

Якщо перенести в праву частину рівності, то матимемо:

. (31.1)

Введемо таке позначення : . (31.2)

Вектор сили який дорівнює добутку маси точки на вектор її прискорення називається даламберовою силою інерції і спрямований він протилежно до вектора прискорення.

Враховуючи (31.2), рівняння (31.1) набуває вигляду:

. (31.3)

Вектор сили який дорівнює добутку маси точки на вектор її прискорення, називається даламберовою силою інерції і спрямований він протилежно до вектора прискорення.

Рівняння (31.3) являє собою принцип Д’Аламбера для матеріальної точки:

Якщо до рухомої невільної матеріальної точки умовно прикласти її силу інерції, тоді геометрична сума заданих сил, реакцій в’язей і умовно прикладеної сили інерції дорівнюватиме нулю.

Отже, за допомогою принципу Д’Аламбера рівнянням динаміки можна надати форми рівнянь статики.

Сила інерції – сила фіктивна. Вона, на відміну від фізичних сил, не має свого джерела виникнення.

Третій закон Ньютона рівності дії і протидії на силу інерції не поширюється.

Зауважимо, що даламберова рівновага є лише умовною моделлю або розрахунковою схемою дійсного абсолютного руху точки.

Фізично даламберових сил інерції в дійсності не існує.

Даламберові сили інерції прикладаються умовно, штучно, щоб надати рівнянням руху вигляд рівнянь рівноваги.

Такий метод складання рівнянь руху має назву метода кінетостатики і широко застосовується в інженерних розрахунках при визначенні динамічних реакцій опор твердих тіл.

31.2. Принцип д’Аламбера для механічної системи

Розглянемо рух невільної механічної системи, що складається з матеріальних точок. В загальному випадку на кожну точку можуть діяти задані сили і реакції в’язей.

Застосуємо метод кінетостатики, а попередньо, принцип звільнення від в’язей до кожної точки системи, що розглядається:

. (31.4)

Тут – рівнодійна всіх прикладених до точки внутрішніх сил; – рівнодійна всіх прикладених до точки зовнішніх сил; – рівнодійна реакцій в’язей, накладених на цю точку; – сила інерції точки.

Рівняння (31.3) являють собою принцип Д’Аламбера для механічної системи, який формулюється так:

В рухомій невільній механічній системі в будь-який момент часу для кожної матеріальної точки системи геометрична сума прикладених до неї внутрішніх, зовнішніх сил, реакцій в’язей та її сили інерції дорівнює нулю.

Покажемо, що з принципу Д’Аламбера для механічної системи можна отримати два векторних або шість аналітичних рівнянь, які дозволяють розв’язувати задачі динаміки методами статики.

Підсумовуючи всі рівнянь (31.4), отримаємо:

або

. (31.5)

Тут – головний вектор всіх зовнішніх сил; – головний вектор реакцій в’язей; – головний вектор сил інерції всіх точок механічної системи. За першою властивістю внутрішніх сил механічної системи маємо .

З рівняння (31.5) випливає:

Для рухомої невільної механічної системи в будь-який момент часу геометрична сума головних векторів заданих сил, реакцій в’язей і сил інерції всіх точок цієї системи дорівнює нулю.

Якщо векторно домножити радіус-вектор точки на кожне з співвідношень (31.4) і підсумувати всі рівнянь, то дістанемо:

або

. (31.6)

Тут – головний вектор-момент відносно центра всіх зовнішніх сил; – головний вектор-момент відносно центра реакцій в’язей; – головний вектор-момент відносно центра О сил інерції всіх точок системи. За другою властивістю внутрішніх сил механічної системи маємо .

З рівняння (31.6) випливає:

Для рухомої невільної механічної системи в будь-який момент часу сума головних векторів-моментів заданих сил, реакцій в’язей і сил інерції всіх точок системи відносно будь якого нерухомого центра дорівнює нулю.

Проектуючи векторні рівняння (31.5) і (31.6) на кожну з трьох координатних осей відповідно, отримаємо шість аналітичних рівнянь:

(31.7)

Якщо задана механічна система складається з кількох з’єднаних тіл, то рівняння (31.7) можна записати окремо для кожного тіла.