23.3. Випадок відносного спокою. Сила ваги

Нехай точка перебуває в стані відносного спокою, тобто і . У цьому разі прискорення Коріоліса, а тому і сила інерції Коріоліса, дорівнюють нулю ( , ).

Тоді рівняння відносного спокою матеріальної точки має вигляд:

. (23.9)

Отже, у випадку, коли матеріальна точка перебуває у стані відносного спокою, геометрична сума прикладених до неї активних сил, реакцій вязей і переносної сили інерції дорівнює нулю.

Як приклад розглянемо відносний спокій матеріальної точки на поверхні Землі (рис. 23.2).

С користаємось рівнянням відносного спокою точки, яка в цьому разі є невільною. Застосуємо принцип звільнення від в’язей: Тоді рівняння (21.9) набуває вигляду:

. (23.10)

Тут – сила тяжіння точки біля поверхні Землі; – реакція опори; – переносна сила інерції точки. За величиною, сила , згідно із законом тяжіння, дорівнює:

;

де – гравітаційна стала; – маса точки; – маса Землі, а  – її радіус; сили інерції

;

,

оскільки .

Очевидно, сила тиску точки на Землю буде дорівнювати:

.

Отже, сила що є рівнодійною сили тяжіння і переносної сили інерції , називається силою ваги і дорівнює їх геометричній сумі:

. (23.11)

Напрям сили ваги визначає напрям вертикалі в даній точці поверхні Землі. Напрям і величину реакції поверхні Землі визначаємо виходячи з величини і напрямку сили ваги (рис. 23.2).

Найбільшу вагу тіло має на полюсі, де , а сила – максимальне значення (тут радіус Землі мінімальний), а найменшу вагу – на екваторі.

За допомогою теорії відносного руху точки пояснюється тиск потяга на рейки; дія води в річках на їх русла, стан невагомості тіла, рух маятника Фуко і т. д.

23.4. Приклади розв’язування задач динаміки відносного руху матеріальної точки

П риклад 1. Точка підвісу математичного маятника рухається вниз зі сталим прискоренням . Знайти період малих коливань маятника, якщо (рис. 23.3).

Розв’язання. Маятник перебуває в складному русі.

Переносний рух – це поступальний прискорений рух маятника разом з точкою привісу вздовж вертикалі вниз.

Відносним рухом є рух точки за дугою кола радіуса .

Покажемо сили, які діють на точку (рис. 23.3). Отже, це вага і реакція мотузки , а також умовно прикладені і сили інерції.

Запишемо векторне рівняння відносно руху точки :

.

Оскільки переносний рух – поступальний , то прискорення Кориоліса і відповідно сила інерції Кориоліса дорівнюють нулю.

Переносна сила інерції спрямована до гори:

.

Спроектуємо векторне рівняння на дотичну до відносної траєкторії точки :

.

Проекція реакції в’язі нитки на дотичну дорівнює нулю.

Проекція відносного прискорення на дотичну за модулем дорівнює:

З урахуванням малих коливань приймаємо . Отже, рівняння відносного руху має вигляд:

;

.

Тут

.

Період малих коливань маятника дорівнює:

.

Приклад 2. Гладенький стержень довжиною обертається рівномірно навколо вертикальної осі, що проходить через його кінець зі сталою кутовою швидкістю (рис. 23.4). Вздовж стержня вільно переміщується кільце , яке в початковий момент часу ( ) знаходилось в середині стержня. Через скільки секунд кільце зійде зі стержня?

Розв’язання. Кільце М здійснює складний рух: поступальний вздовж стержня і переносний – обертальний разом із стержнем навколо нерухомої вертикальної осі .

Рухому систему відліку Ох пов’язуємо зі стержнем .

До кільця прикладені: сила ваги , вертикальна та горизонтальна складові повної реакції стержня. Умовно прикладаємо сили інерції і , які за модулем дорівнюють:

;

.

Векторне рівняння відносного руху кільця М запишемо у такому вигляді:

.

Спроектуємо його на вісь . Вектори , , та перпендикулярні (рис. 21.4).

Отримаємо диференціальне рівняння відносного руху кільця :

; ,

звідки

.

Складемо характеристичне рівняння:

корені якого

.

Тоді, загальний розв’язок рівняння матиме вигляд:

.

Для визначення сталих інтегрування і запишемо вираз для швидкості кільця:

.

та складемо початкові умови:

при : , .

Підставляючи їх у рівняння руху і швидкості, відповідно отримуємо:

; ,

звідки

.

Підставивши значення сталих інтегрувань, дістанемо рівняння відносного руху кільця:

.

Підставляючи в ліву частину рівняння, визначимо значення тривалості руху кільця вздовж стержня:

,

звідки

.

Припустимо, що , а . Тоді останнє рівняння набуває вигляду:

або ,

звідки

.

Оскільки час руху кільця , то . Тому з двох коренів обираємо , а не , що <1.

Таким чином, , звідки після логарифмування одержимо:

.

Для того щоб отримати модулі вертикальної і горизонтальної складових повної реакції стержня та спроектуємо векторне рівняння на осі та .

Враховуючи, що та , отримаємо відповідно:

та ,

звідки матимемо:

;

.

Таким чином, горизонтальна складова тиску кільця на стержень у поперечному напрямі, змінна за часом.

Розділ ХІІ Загальні теореми динаміки точки і механічної системи