Запишемо диференціальне рівняння руху матеріальної точки

або

Перетворимо ліву частину цього рівняння

,

тоді

.

Відокремимо змінні в одержаному рівнянні та проінтегруємо обидві частини, вважаючи верхню границю змінною

,

звідки

.

У початковий момент руху

при : , ;

,

тому

.

Таким чином

,

звідки

Максимальну відстань , на яку піднімається тіло, можна отримати з цієї рівності при .

Тоді після нескладних перетворень

Із цієї формули видно, що збільшується зі зростанням і, коли , відстань прагне до нескінченності. Отже, матеріальна точка, яку запустили з поверхні Землі зі швидкістю , вже не повернеться назад. Цю швидкість називають другою космічною швидкістю. Вона дорівнює

.

Лекція 23 динаміка відносного руху матеріальної точки

23.1. Диференціальні рівняння відносного руху матеріальної точки

Динамічні рівняння руху матеріальної точки в інерціальних системах відліку підпорядковуються законам Ньютона. Проте, в більшості випадків задачі динаміки зводяться до дослідження руху точки в неінерціальній системі відліку.

Звична для нас система, яка пов’язана з Землею, також не є інерціальною.

Другий закон Ньютона в неінерціальній системі відліку не виконується.

Розглянемо рух матеріальної точки відносно неінерціальної системи відліку.

Припустимо, що довільна матеріальна точка рухається при дії рівнодійної активних сил та рівнодійної реакцій в’язей (рис. 23.1).

П ри цьому точка рухається відносно рухомої системи координат , (відносний рух точки – ), яка, в свою чергу, рухається разом з точкою не поступально відносно нерухомої (інерціальної) системи координат (переносний рух точки – ).

Нехай, переносний рух рухомої системи координат відносно нерухомої системи відліку заданий. Визначимо відносний рух точки відносно рухомої системи координат .

Абсолютний рух невільної точки , масою , відносно інерціальної системи координат , тобто , підпорядковується другому закону Ньютона:

, (23.1)

де – абсолютне прискорення точки .

На підставі теореми Коріоліса, у випадку переносного непоступального руху, абсолютне прискорення точки дорівнює геометричній сумі трьох прискорень – відносного , переносного та прискорення Коріоліса :

. (23.2)

Підставляючи значення (23.2) в (23.1), дістаємо векторне рівняння руху невільної матеріальної точки:

. (23.3)

Перетворимо рівність (23.3) стосовно до відносного прискорення, тобто перенесемо два останніх доданка з лівої частини в праву:

. (23.4)

Введемо такі позначення:

. (23.5)

Вектор називається силою інерції переносного руху.

Вектор називається силою інерції Коріоліса.

Підставляючи значення (23.5) в (23.4), отримаємо основне рівняння відносного руху матеріальної точки в векторній формі:

. (23.6)

Таким чином, відносний рух матеріальної точки можна розглядати як абсолютний, якщо до прикладених до точки активних сил та реакцій вязей умовно додати переносну та коріолісову сили інерції.

Розглянемо якісну відмінність між силами і , прикладеними до точки , і силами інерції та .

Сили і є результатом дії на матеріальну точку певних фізичних тіл, які можна повністю конкретно визначити в усіх окремих випадках.

Джерела існування таких сил не залежать від вибору координатної системи. Ці сили називаються ньютоновими силами.

Що стосується переносної та коріолісової сил інерції, які називаються ейлеровими силами інерції, то вони з’являються лише тоді, коли матеріальна точка рухається в неінерціальній системі відліку і повністю залежать від характеру руху цієї системи відліку.

Ейлерові сили інерції не підкоряються закону рівності дії та протидії.

Якщо на деяку матеріальну точку діє сила інерції, то для неї не існує сили протидії, тобто ейлереві сили інерції не мають джерела свого виникнення з точки зору тверджень класичної механіки.

Крім того, значення ейлеревих сил інерції та визначають не за допомогою приладів, як при визначенні фізичних ньютонових сил, а лише за формулами (23.5).

Отже, в межах класичної механіки ейлерові сили інерції та є фіктивними, тобто умовно прикладеними до матеріальної точки, рух якої розглядається.

Переносна і кориолісова сили інерції не є відображенням механічної взаємодії матеріальних об’єктів, а є результатом формального зведення диференціальних рівнянь динаміки, записаних у неінерціальній системі відліку, до відомої форми запису диференціальних рівнянь в інерціальній системі відліку. Такий підхід дає змогу застосувати для розв’язання ряду практичних задач увесь розроблений раніше математичний апарат.

Якщо спроектувати обидві частини векторного рівняння (23.6) на рухомі координатні осі Охуz, отримаємо диференціальні рівняння відносного руху матеріальної точки:

;

. (23.7)

23.2. Принцип відносності в класичній механіці

Розглянемо частинний випадок, коли рухома координатна система Охуz рухається відносно нерухомої поступально, прямолінійно і рівномірно, тобто і . В цьому випадку , і тому відповідно: і .

Отже, основне рівняння (23.6) відносного руху точки має вигляд:

. (23.8)

Порівнюючи рівняння (23.1) і (23.8) бачимо, що в цьому частинному випадку, абсолютний і відносний рухи точки визначаються ідентичними рівняннями. Тобто, рухома координатна система також є інерціальною.

Таким чином, всі системи відліку, що рухаються рівномірно й прямолінійно відносно інерціальної координатної системи, теж є інерціальними, а рух матеріальної точки відносно будь-якої з них можна розглядати як абсолютний рух.

Це вказує на інваріантність рівнянь динаміки при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої.

Якщо уявити спостерігача в закритому приміщенні, яке рухається рівномірно і прямолінійно, то він, не відчуваючи дії переносної і коріолісової сил інерції, не може визначити свого положення відносно інших систем відліку, отже не може визначити, чи рухається його система відліку чи перебуває в стані спокою.

Таким чином, приходимо до висновку, який носить назву принципу відносності в класичній механіці: жодними механічними дослідженнями в середовищі не можна визначити його рівномірного і прямолінійного руху.