2. Криволінійний рух.

Розглянемо рух тіла, кинутого під кутом до горизонту, без урахування опору повітря. Вважаючи тіло матеріальною точкою, розглянемо його рух із початковою швидкістю , яка утворює кут з горизонтом. Початок відліку сполучимо з точкою вильоту тіла, спрямувавши вісь Ох вздовж горизонталі в бік руху, а вісь – вгору (рис. 22.3).

Під час руху на тіло буде діяти тільки постійна сила ваги , яка спрямована вертикально вниз.

Запишемо основний закон динаміки точки, тобто другий закон Ньютона

.

Спроектувавши це векторне рівняння на координатні осі, отримаємо два диференціальні рівняння руху точки

; .

Після перетворень рівняння матимуть вигляд: ;

Інтегруємо послідовно за часом кожне з цих рівнянь і отримуємо загальний розв’язок задачі для проекцій вектора швидкості на координатні осі та рівняння руху точки

; ;

; .

Складемо початкові умови задачі при : , ;

, .

Підставляючи ці значення в загальний розв'язок, дістанемо значення сталих інтегрування:

, , , .

Тоді проекції швидкості та рівняння руху точки для нашої задачі набудуть вигляду

;

; .

Отримані рівняння дозволяють визначити час і дальність польоту тіла , а також максимальну висоту його підйому .

Час польоту тіла можна визначити з четвертого рівняння; вважаючи, що в точці падіння тіла М₂ на Землю, координата , тоді

.

Підставивши значення у друге рівняння, знайдемо дальність польоту тіла : ,звідки .

Дальність польоту іншого тіла, за інших рівних умов, залежить від кута і сягатиме максимуму, коли sin тобто для

Із умови, що проекція швидкості у найвищій точці на вісь дорівнює нулю, знайдемо час польоту тіла до цієї точки

, звідки .

Підставляючи значення до четвертого рівняння, отримаємо найбільшу висоту підйому тіла: , звідки .

Приклад ІІ. Сила залежить від часу.

Розглянемо рух матеріальної точки без початкової швидкості вздовж гладенької поверхні за горизонтальною прямою під впливом сили , де

Виберемо початок відліку в точці , яка збігається з початковим положенням рухомої точки, і спрямуємо вісь вздовж траєкторії в бік руху точки (рис. 22.4).

Диференціальне рівняння руху отримаємо з основного закону динаміки точки

.

Проектуючи його на вісь , дістанемо

або .

Інтегруємо двічі це рівняння

;

Підставивши початкові умови

при :

до результату інтегрування, маємо

За таких значень сталих інтегрування закон руху точки та її швидкість відповідно мають вигляд

; .

Приклад ІІІ. Сила залежить від швидкості руху матеріальної точки.

Нехай тіло вагою рухається вниз без початкової швидкості із точки , яку візьмемо за початок відліку (рис. 22.5). Вісь направимо вертикально вниз. Величина опору, який відчуває тіло, що падає, залежить від швидкості його руху. За невеликих значень швидкості, силу опору можна вважати пропорційною швидкості руху, а при великих значеннях швидкості, силу опору приймають пропорційною до квадрату швидкості точки. У даному прикладі розглянемо випадок, коли сила опору пропорційна швидкості та дорівнює , де – коефіцієнт пропорційності.

Оскільки тіло рухається поступально, розглядаємо його рух як рух матеріальної точки з такою самою масою.

З апишемо основне рівняння динаміки матеріальної точки, що рухається під впливом сил і

.

Проектуючи векторне рівняння на вісь , дістанемо диференціальне рівняння руху тіла

;

.

Позначивши і , запишемо отримане рівняння у вигляді

.

Відокремивши змінні , одержимо

.

Введемо нову змінну тоді звідки

Виконаємо заміну в рівнянні (20.3) та отримаємо

Інтегруючи це рівняння, дістанемо

або

Підставивши в це рівняння початкову умову

при

знайдемо

.

Тоді

або

Потенціюючи це рівняння, знайдемо:

або , звідки

.

Аналізуючи отримане рівняння, бачимо, що швидкість руху тіла весь час зростає, прагнучи до свого граничного значення, тобто

при

Практично через деякий проміжок часу рух стає рівномірним. В цей момент сила опору середовища R дорівнюватиме вазі тіла. Тобто, враховуючи, що , маємо

Запишемо рівняння (20.4) у вигляді

тоді

Після інтегрування це рівняння набуває вигляду

.

При початкова умова: . Тоді стала інтегрування

Підставивши значення в результат інтегрування, дістанемо закон руху тіла, що падає з висоти з врахуванням сили опору для нашого випадку

Якщо , то маємо практично лінійну залежність від часу за такого руху тіла:

Приклад ІV. Сила залежить від положення точки.

Р озглянемо рух матеріальної точки , кинутої вертикально вгору з поверхні Землі зі швидкістю під впливом сили тяжіння Землі (рис. 22.6). Знайдемо залежність швидкості точки від її відстані до центру Землі.

Виберемо початок координат у центрі Землі та спрямуємо вісь вздовж траєкторії точки за напрямком руху. Як відомо, сила тяжіння обернено пропорційна квадрату відстані між точкою та центром Землі, тобто

,

де – коефіцієнт пропорційності (рис. 22.6).

Значення цього коефіцієнта легко визначити з умови, що на поверхні Землі в точці сила дорівнює силі ваги

,

звідки

Остаточно формула сили тяжіння дорівнює