22.2. Обернена, або друга, основна задача

Друга – обернена задача динаміки полягає в тому, що за заданими силами, прикладеними до точки, її масою та початковими умовами визначають закон руху, який спричиняють ці сили.

План розв’язування другої ( оберненої) задачі динаміки точки:

1. Показати на рисунку матеріальну точку в обраній системі відліку в довільний, але не початковий момент часу.

2. Показати вектори активних сил, що діють на матеріальну точку.

3. Подумки звільнити матеріальну точку від в’язей, замінюючи їх дію на точку силами, що дорівнюють реакціям в’язей, які також показати на рисунку.

4. Скласти динамічні диференціальні рівняння руху матеріальної точки в обраній системі відліку.

5. Двічі зінтегрувати кожне з динамічних диференціальних рівнянь руху та знайти загальні розв’язки задачі.

6. Скласти початкові умови руху за змістом конкретної задачі .

7. Визначити сталі інтегрування за складеними початковими умовами.

8. Підставити отримані значення сталих інтегрування до результату інтегрування та дістати шуканий закон руху матеріальної точки.

Нехай відомі сили, які діють на матеріальну точку, її маса , а також початкове положення точки та її початкова швидкість. Необхідно визначити кінематичні рівняння руху точки.

Будемо розв’язувати цю задачу за допомогою диференціальних рівнянь руху матеріальної точки в декартових координатах

; ; . (22.1)

Розв’язання цієї задачі зводиться до інтегрування трьох спільних диференціальних рівнянь (20.1) другого порядку відносно трьох невідомих функцій , , , де незалежним аргументом є час . Загальні методи інтегрування цих рівнянь дотепер не розроблені. Але деякі прийоми побудови розв’язків системи диференціальних рівнянь (22.1) можна вказати.

Для розв’язування цієї задачі необхідно до кожного з рівнянь (22.1) підставити значення маси і суми проекцій на координатні осі сил, що діють на точку, а далі двічі зінтегрувати кожне з них за часом.

При цьому з’явиться шість невідомих сталих інтегрування, значення яких визначаються за початковими умовами: початковими координатами точки , , і проекціями її початкової швидкості – , ,

Підставляючи знайдені значення сталих інтегрування з умов задачі в отримані загальні розв’язки рівнянь (20.1), кінематичні рівняння руху точки набудуть такого вигляду:

(22.2)

У загальному випадку руху точки сили, що діють на неї, можуть бути як сталими, так і змінними в залежності від часу, швидкості та координат руху матеріальної точки.

22.3. Приклади розв’язання оберненої задачі динаміки матеріальної точки

Приклад І. Сила стала за модулем і напрямком.

1 . Прямолінійний рух.

Розглянемо вільне падіння тіла з висоти , вважаючи вагу тіла сталою. Нехтуючи розмірами тіла, приймемо його за матеріальну точку. Силу опору повітря також не враховуємо.

Нехай матеріальна точка в деякий момент часу займає положення , яке знаходиться від початкового положення на відстані (рис. 22.2). На точку в цьому положенні діє вертикальна сила ваги . Спрямуємо вісь вертикально вниз за траєкторією руху точки , обравши початок координат в її початковому положенні.

Запишемо другий закон Ньютона .

Диференціальне рівняння цього прямолінійного руху в обраній системі відліку має вигляд

або ,

звідки

.

Інтегруємо двічі за часом отримане рівняння ; .

Визначимо початкові умови. Нехай точка у початковий момент часу, знаходячись в точці відліку , має початкову швидкість, яка дорівнює нулю. Тоді початкові умови виглядатимуть так: при : , .

Підставляючи початкові умови в отримані рівняння, визначимо значення сталих інтегрування

; .

Рівняння, що характеризує вільне падіння тіла у порожнечі, має вигляд

.

Цей закон був вперше експериментально доведений Галілеєм.

Із закону вільного падіння, можна визначити час падіння тіла з певної висоти при , , звідки .