30.5. Диференціальні рівняння плоскопаралельного руху твердого тіла.

Вільне тверде тіло буде здійснювати плоскопаралельний рух, якщо це тіло має площину матеріальної симетрії та при цьому сили, що діють на тіло, розташовані в цій площині або у площинах, паралельних до площини матеріальної симетрії.

Рух тіла може бути плоскопаралельним і в тому випадку, якщо на нього накладено відповідні в’язі, що дозволяють тілу здійснювати вказаний рух. Але таке тіло буде вже невільним.

Якщо прийняти за полюс центр мас тіла, то диференціальні рівняння плоскопаралельного руху матимуть вигляд

; ;

. (30.11)

Перші два рівняння (30.11) описують поступальний рух твердого тіла разом із центром мас (полюсом). Третє рівняння описує обертання тіла навколо рухомої осі, яка є перпендикулярною до площини матеріальної симетрії (площини, в якій міститься центр мас тіла) і яка проходить через центр мас тіла.

30.7. Приклади розв’язання задач

П риклад 1. Однорідний тонкий стержень довжиною і вагою прикріплений кінцем до вертикальної нитки , а кінцем спирається на гладку горизонтальну площину, утворюючи з нею кут (рис. 30.5). В деякий момент часу нитку перепалюють і стержень починає падати. Визначити реакції площини в точці в момент початку падіння стержня.

Розв’язання. Стержень є невільним тілом. Відкинемо в’язі і замінимо їх дію на стержень силами реакцій: – тиск з боку площини і – натяг нитки. Звільнивши стержень від нитки (після її перепалювання), розглянемо його рух під дією лише двох сил і відносно системи координат Оху. Тут точка О співпадає з початковим положеннім т.А

Покажемо штриховою лінією положення стержня в поточний момент часу і запишемо диференціальні рівняння плоскопаралельного руху цього стержня

; ;

. (30.12)

Інтегруємо двічі перше з рівнянь (30.19):

; .

Сформулюємо початкові умови:

при маємо ; ,

тоді

,

тобто

.

Отже, центр мас по відношенню до осі знаходиться в стані спокою, тобто центр мас пересувається лише вздовж вертикалі. Такий результат може бути отриманий з третього наслідку теореми про рух центра мас.

В двох останніх рівняннях (30.12) є три невідомі величини , і N. Тому для їхнього визначення треба скласти ще одне рівняння, що випливає з обмежень, які накладаються в’язями на рух стержня, тобто

.

Це рівняння є законом руху центра мас стержня вздовж вертикалі. З нього маємо відповідно закони зміни швидкості та прискорення центра мас:

; .

Підставляючи отримане значення до другого рівняння системи (30.12), матимемо:

. (30.13)

Підставивши значення до третього рівняння системи (30.12), дістанемо

або

. (30.14)

Домножимо рівняння (30.14) на і додамо його до рівняння (30.13). Після взаємного знищення деяких доданків, отримаємо:

,

звідки

.

У нашому випадку при : ; реакція площини в точці в момент початку падіння стержня має таке значення:

.

П риклад 2. Однорідний циліндр з горизонтальною віссю скочується під дією власної ваги з похилої шорсткої площини. Коефіцієнт тертя ковзання . Визначити прискорення осі циліндра, а також знайти кут нахилу площини до горизонту, при якому циліндр котитиметься без ковзання (рис. 30.6).

Розв’язання. Система диференціальних рівнянь плоскопаралельного руху циліндра має вигляд:

;

;

. (30.15)

Оскільки циліндр котиться без ковзання, то точка Р – миттєвий центр швидкості . Тому

,

а значить

.

З третього рівняння системи (30.15) знаходимо :

.

З другого рівняння системи (30.15) при знаходимо, що .

З першого рівняння системи (30.15) знаходимо :, що дорівнює :

,

звідки

, ; або .

Для того, щоб рух відбувався без ковзання потрібно щоб сила тертя при коченні була меншою, ніж сила тертя в момент початку руху.

Остаточно:

; ;

; ,

звідки

, тобто і .

Розділ ХV . ПРИНЦИП ГЕРМАНА - ЕЙЛЕРА - Д’АЛАМБЕРА