30.2. Диференціальне рівняння обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі
Розглянемо обертання твердого тіла
навколо нерухомої осі під дією зовнішніх
сил
(рис. 30.1). Застосуємо принцип звільнення
від в’язей.
Запишемо теорему про зміну кінетичного моменту механічної системи в проекціях на вісь :
.
(30.3)
Я
кщо
розглядати обертання тіла за відсутністю
сил тертя, то сума моментів реакцій
в’язей відносно осі
дорівнюватиме нулю і в праву частину
рівняння увійдуть моменти лише тих сил,
що задаються.
Характеристикою інертності тіла при
обертальному русі є момент інерції
тіла відносно осі обертання
.
Перетворимо ліву частину рівняння
(30.3), враховуючи, що
:
.
Тоді рівняння (30.3) матиме такий вигляд:
,
(30.4)
або
.
(30.4.а)
Рівняння (30.4) є диференціальним рівнянням обертального руху тіла навколо нерухомої осі, що дозволяє розв’язувати такі задачі:
1. За
заданим законом обертання тіла
і його моментом інерції
визначати головний момент зовнішніх
сил
,
що діють на тверде тіло.
2. За заданими зовнішніми силами, моментом інерції тіла і початковими умовами обертання визначати закон обертального руху тіла.
3. За
заданими зовнішніми силами і кутовим
прискоренням тіла
визначити момент інерції
тіла відносно осі обертання (30.4.а).
30.3. Фізичний маятник та його малі коливання.
Фізичним маятником називається тверде тіло, яке здійснює коливання під дією сили тяжіння навколо нерухомої горизонтальної осі обертання, яка не проходить через центр мас цього тіла.
Вісь обертання фізичного маятника називається віссю підвісу маятника.
Проведемо вертикальну площину через центр мас тіла – точку С (рис. 30.2).
Нехтуючи силами тертя у підшипнику , запишемо диференціальне рівняння обертального коливального руху цього тіла:
,
(30.5)
звідки
.
(30.6)
Обмежимося розглядом малих коливань фізичного маятника, для яких . Тоді рівняння (30.6) набуде вигляду:
або
.
(30.7)
Тут
– квадрат частоти власних коливань
маятника.
Як відомо, загальним розв’язком рівняння (28.7) є:
,
(30.8)
де
– амплітуда коливань маятника,
– початкова фаза коливань.
Період коливань фізичного маятника дорівнює:
.
(30.9)
30.5. Експериментальне визначення моментів інерції тіл
Розглянемо визначення моментів інерції неоднорідних тіл і тіл складної конфігурації з використанням теорії фізичного маятника.
Наприклад, необхідно знайти момент інерції шатуна відносно осі, що проходить через центр тяжіння т. С (рис. 30.3). Попередньо визначимо шляхом зважування положення d – центра ваги цього шатуна (рис. 30.4):
;
.
Тут – показник динамометра.
Далі
підвісимо шатун на ідеально гладкий
горизонтальний циліндричний стержень
і відхиливши шатун на малий кут від
стану рівноваги, експериментально
заміряємо період його коливань
(рис. 30.3).
Знаючи період коливань , з формули (30.9) визначаємо момент інерції шатуна відносно осі підвісу:
.
Момент інерції шатуна відносно
горизонтальної осі, яка проходить через
центр мас, з урахуванням, що
,
знаходимо за формулою:
.
(30.10)