28.2. Теорема про роботу рівнодійної:

Робота рівнодійної на деякому переміщенні дорівнює алгебраїчній сумі робіт складових сил на тому самому переміщенні.

Нехай точка знаходиться під дією сил . Оскільки ці сили утворюють збіжну систему сил, дію цих сил на дану точку можна замінити їх рівнодійною , яка дорівнює геометричній сумі заданих сил:

.

Домножимо обидві частини цього рівняння скалярно на вектор елементарного переміщення точки :

.

Обчисливши інтегральні суми вздовж всього переміщення точки , маємо:

,

остаточно:

Теорему доведено.

28.3. Теорема про роботу внутрішніх сил незмінної системи

На будь-якому скінченому переміщенні сума робіт усіх внутрішніх сил абсолютно твердого тіла дорівнює нулю

28.4. Робота сили ваги

С илу ваги матеріальної точки поблизу земної поверхні можна вважати сталою. Вона дорівнює добутку маси точки (тіла) на прискорення вільного падіння, тобто і спрямована вертикально вниз.

Направимо вісь вертикально вгору (рис. 28.3) та скористаємось аналітичним виразом елементарної роботи сили.

Проекції сили ваги на осі координат:

; ; .

Повна робота сили ваги на переміщенні :

.

Тут через позначена відстань вздовж вертикалі між горизонтальними площинами, проведеними через початкове і кінцеве положення точки .

Отже, робота сили ваги дорівнює взятому з відповідним знаком добутку сили ваги на вертикальне переміщення точки її прикладення:

. (28.13)

Робота сили ваги не залежить від довжини та форми траєкторії руху точки її прикладання, а залежить тільки від відстані між горизонтальними площинами, які проходять через початкове та кінцеве положення точки.

28.5. Робота сили пружності на скінченому прямолінійному переміщенні

Р озглянемо матеріальну точку, яка прикріплена до вільного кінця горизонтальної пружини (рис. 28.4). За початок відліку системи візьмемо положення точки , що відповідає недеформованій пружині, тобто коли точка знаходиться від точки на відстані . Якщо розтягувати пружину, то на точку діятиме змінна за модулем сила пружності пружини , яка спрямована до точки .

Визначимо роботу, яку здійснює сила пружності на переміщенні :

.

Проекції сили пружності на координатні осі :

; ; .

Тоді

.

При стисканні пружини знак роботи сили пружності буде додатним.

Отже, робота сили пружності дорівнює взятій з відповідним знаком половині добутку коефіцієнта пружності на квадрат деформації пружини.

. (28.14)

Аналогічно, легко довести, що робота сили пружності спіральної пружини при її кутовій деформації, дорівнює взятій з відповідним знаком половині добутку коефіцієнта пружності на квадрат деформації пружини.

. (28.15)

2 8.6. Робота і потужність сили, прикладеної до твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі

Обчислимо елементарну роботу сили , прикладеної до тіла, що обертається навколо нерухомої осі на переміщенні , яке обумовлене поворотом тіла на елементарний кут .

Розкладемо силу на складові за натуральними осями (рис. 26.5):

.

На підставі теореми про роботу рівнодійної, робота сили буде дорівнювати сумі робіт її складових , , .

Робота складових і , що перпендикулярні до переміщення , дорівнює нулю. Тому елементарна робота сили дорівнюватиме:

. (28.16)

Визначимо момент сили відносно осі обертання, як суму моментів її складових. Оскільки складова паралельна осі, а складова перетинає цю вісь, тому вони момента відносно осі не утворюють.

Отже, маємо:

. (28.17)

Враховуючи (26.17), рівняння (26.16) запишемо у вигляді

. (28.18)

Отже, елементарна робота сили, прикладеної до твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, дорівнює добутку моменту цієї сили відносно нерухомої осі обертання на елементарний приріст кута повороту тіла.

Повна робота сили на кінцевому переміщенні вздовж дуги кола дорівнює:

. (28.19)

Якщо , а , то маємо:

. (28.20)

Отже, робота сталої за модулем сили, прикладеної до твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, дорівнює добутку моменту цієї сили відносно осі обертання на відповідний кут повороту тіла.

Потужність сили дорівнює добутку моменту сили відносно осі обертання на кутову швидкість обертання:

. (28.21)

Лекція 29

Теореми про зміну кінетичної енергії

матеріальної точки і механічної системи.

ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ПОВНОЇ МЕХАНІЧНОЇ ЕНЕРГІЇ