27.5. Приклад розв’язання задачі

Кругла однорідна горизонтальна платформа радіуса і вагою обертається без тертя навколо вертикальної осі з кутовою швидкістю На платформі на відстані r від осі обертання стоїть людина вагою . Чому буде дорівнювати кутова швидкість платформи, якщо людина почне рухатись вздовж платформі за колом радіуса з відносною швидкістю в напрямку обертання платформи (рис. 27.2).

Розв’язання. На механічну систему, яка складається з платформи і людини, діють зовнішні сили: сили ваги платформи і людини , а також реакції в’язей в точках і .

Головний момент зовнішніх сил відносно осі дорівнює нулю, оскільки сили ваги паралельні цій осі, а реакції в’язей перетинають цю вісь. Отже, виконується закон збереження кінетичного моменту системи відносно осі :

і тому

Кінетичний момент механічної системи відносно осі у початковий момент часу коли людина відносно платформи не рухається, дорівнює:

,

де – момент інерції платформи – круглого диска; – швидкість людини, яка нерухома по відношенню до платформи.

Кінетичний момент у випадку, коли людина рухається платформою з відносною швидкістю , дорівнює:

.

Зважаючи на те, що виконується закон збереження кінетичного моменту системи відносно осі , запишемо , тоді:

або

.

Звідки

.

Робота сили та кінетична енергія матеріальної точки матеріальної системи Лекція 28 Робота сили та її Потужність

28.1. Формули визначення роботи сили та її потужності потужності

У динаміці розглядається два випадки перетворення механічного руху.

У першому випадку механічний рух переноситься з однієї матеріальної системи на іншу у вигляді механічного руху.

У другому випадку механічний рух перетворюється в інші форми руху матерії (теплоту, електрику, потенціальну енергію і т.п.).

Кількісною міроюдії сили при перетворенні механічного руху в інші форми руху є робота сили А.

Я кщо сила стала за модулем і напрямом, а точка її прикладання переміщується прямолінійно (рис. 28.1), то робота сили дорівнює добутку модуля вектора сили на довжину вектора переміщення і на косинус кута між напрямом вектора сили і вектора переміщення:

. (28.1)

Якщо то ; якщо то .

З векторної алгебри відомо, що скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними:

. (28.2)

Тому, рівняння (28.1), враховуючи (28.2) набуває вигляду:

, (28.3)

Отже, робота сили, яка стала за модулем і напрямом та точка прикладення якої рухається прямолінійно, дорівнює скалярному добутку вектора сили та вектора переміщення точки її прикладення.

Якщо сила змінна за модулем і напрямом, а точка її прикладання рухається за криволінійною траєкторією, то криволінійне переміщення точки прикладання сили розбивають на елементарні (нескінченно малі) ділянки . Далі обчислюють роботу сили на кожній елементарній ділянці, вважаючи силу сталою, а переміщення – прямолінійним.

А потім визначають інтегральну суму елементарних робіт на даному переміщенні .

Елементарну роботу сили позначимо символом а не , оскільки в загальному випадку вона не є диференціалом функції:

. (28.4)

Використовуючи (28.3), рівняння (28.4) можна записати у вигляді:

. (28.5)

О скільки вектор переміщення дорівнює прирощенню радіуса – вектора точки прикладання сили (рис. 28.2), то рівняння (28.5) набуває вигляду:

. (28.6)

Аналітичний вираз для обчислення елементарної роботи отримаємо з рівняння (28.6), виразивши вектор сили і вектор переміщення через проекції на координатні осі:

. (28.7)

Повна робота сили на переміщенні визначається за формулами:

; (28.8)

; (28.9)

; (28.10)

. (28.11)

Поряд з поняттям роботи сили вводять також поняття її потужності.

Потужність сили дорівнює роботі, яка виконується за одиницю часу. Тому з урахуванням формул (28.5) або (28.8), маємо:

або

.

Отже, потужність сили дорівнює скалярному добутку вектора сили та вектора швидкості руху точки її прикладання:

. (28.12)

Таким чином, потужність N – це фізична величина, що характеризує швидкість виконання роботи силою, яка прикладена до матеріальної точки.