27.2. Кінетичний момент тіла, що обертається навколо нерухомої осі, відносно цієї осі

Запишемо моменти кількості руху кожної точки тіла, що обертається з кутовою швидкістю відносно осі (рис. 27.1).

.

Тоді кінетичний момент тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, має такий вигляд:

де

.

Отже, кінетичний момент тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, дорівнює добутку моменту інерції тіла відносно осі обертання і кутової швидкості його обертання.

. (27.4)

27.3. Теорема про зміну кінетичного моменту механічної системи.

Векторна похідна за часом від кінетичного моменту механічної системи відносно деякого центра дорівнює головному моменту зовнішніх сил, прикладених до точок механічної системи, відносно того самого центра.

Доведення: Розглянемо механічну систему, яка складається з матеріальних точок, на які діють зовнішні і внутрішні сили. Теорема про зміну моменту кількості руху для -ої точки системи відносно деякого нерухомого центра має вигляд:

.

Запишемо таких рівнянь стільки, скільки точок має дана система, підсумуємо їх:

.

Перетворимо ліву частину цього рівняння і, з урахуванням (27.1), отримуємо

.

Враховуючи, що остаточно маємо:

. (27.5)

Рівняння (27.5) визначає теорему про зміну кінетичного моменту механічної системи відносно нерухомого центра.

Проектуючи обидві частини рівняння (27.5) на координатні осі, дістаємо:

; ; . (27.6)

Отже, перша похідна за часом від кінетичного моменту механічної системи відносно деякої осі дорівнює головному моменту зовнішніх сил, прикладених до точок механічної системи, відносно тієї самої осі.

Наслідки з теореми:

1. Внутрішні сили безпосередньо не впливають на зміну кінетичного моменту механічної системи. ( Вони можуть здійснювати лише непрямий вплив через зовнішні сили).

2. Якщо головний момент всіх зовнішніх сил системи відносно деякого центра дорівнює нулю, то кінетичний момент механічної системи відносно того самого центра є векторною сталою величиною, тобто якщо , то .

3. Якщо головний момент зовнішніх сил системи відносно будь-якої осі дорівнює нулю, то кінетичний момент механічної системи відносно тієї самої осі є сталою величиною, тобто якщо , то .

Другий та третій наслідки називаються відповідно законами збереження кінетичних моментів механічної системи відносно центра і осі.

При розв’язанні багатьох задач динаміки рух механічної системи відносно інерціальної системи відліку раціонально представляти як складний рух, що розкладається на переносний (поступальний) разом із центром мас і відносний (обертальний) рух навколо центра мас.

Зауваження: теорему про зміну кінетичного моменту механічної системи для відносного руху системи, записують вважаючи центр мас (т. С) нерухомим:

. (27.7)

27.4 . Збереження кінетичного моменту механічної системи

Розглянемо механічну систему, яка обертається навколо нерухомої осі. Якщо при цьому головний момент усіх зовнішніх сил відносно осі обертання дорівнює нулю, то кінетичний момент механічної системи відносно цієї осі є сталою величиною, тобто .

Якщо механічна система незмінна, то момент інерції її відносно осі обертання буде сталим і обертання системи відбувається зі сталою кутовою швидкістю.

Якщо механічна система змінна, тоді під дією внутрішніх або зовнішніх сил окремі її точки можуть наближатись чи віддалятись від осі обертання, що призведе до зменшення або збільшення моменту інерції І_z.

При цьому кінетичний момент системи відносно осі обертання і в цьому випадку повинен бути сталим. Тому зменшення момента інерції системи призведе відповідно до збільшення кутової швидкості і навпаки, тобто

,

звідки:

. (27.8)

Умова (27.8) наочно демонструється на пристрої, що зветься платформою Жуковського. Цей пристрій являє собою круглу горизонтальну платформу, що обертається навколо центральної вертикальної осі з малим тертям.

Платформі з людиною, що знаходиться на ній, надають обертального руху. Оскільки на дану механічну систему діють тільки вертикальні сили (сили тертя досить малі), то їх моменти відносно осі обертання дорівнюють нулю. Дорівнюють нулю і моменти реакцій в’язей, оскільки вони перетинають вісь. Розводячи руками в боки, людина збільшує момент інерції механічної системи, що призводить до відповідного зменшення кутової швидкості платформи. Досить ефектно зміни кутової швидкості використовуються в балеті і фігурному катанні.