26.1. Момент кількості руху матеріальної точки відносно центра і осі
Момент
кількості руху матеріальної точки
відносно
центра
визначається
так само, як і момент сили
.
Момент
кількості руху матеріальної точки
відносно нерухомого центра
дорівнює векторному добутку радіуса-вектора
точки
і вектора кількості руху точки
(рис. 26.1):
.
(26.1)
За
модулем:
.
Отже,
моментом кількості руху матеріальної
точки відносно деякого центра називається
вектор
який дорівнює за модулем добутку модуля
кількості руху точки
на плече d
і має напрям перпендикулярний до площини,
яка проходить через вектор
і центр О
в
той бік,
звідки вектор
відносно центра
О видно
спрямованим проти руху годинникової
стрілки
(рис. 26.1).
Величина момента кількості руху матеріальної точки відносно деякої осі, наприклад , записуються аналогічно відповідному виразу для момента сили (рис. 26.2):
;
(26.2)
Аналогічно запишемо таку залежність:
.
(26.3)
Отже, проекція вектор-моменту кількості руху матеріальної точки відносно деякого центра на вісь, яка проходить через цей центр, дорівнює моменту кількості руху точки відносно цієї осі.
Проектуючи вектор момент кількості руху точки відносно центра (26.1) на осі прямокутної декартової системи координат, отримаємо вирази для обчислення моментів кількості руху матеріальної точки відносно координатних осей:
;
;
.
(26.4)
26.2. Теорема про зміну моменту кількості руху матеріальної точки:
Векторна похідна за часом від моменту кількості руху матеріальної точки відносно деякого центра дорівнює вектору-моменту сили, прикладеної до цієї точки, відносно того самого центра.
Д
оведення.
Нехай матеріальна точка
масою
рухається
зі
швидкістю
під дією
сили
(рис. 26.3).
Момент кількості руху даної матеріальної точки відносно нерухомого центра визначається за формулою (26.1):
.
Знайдемо першу похідну за часом від останнього виразу
.
(26.5)
Тут
,
як векторний добуток двох колінеарних
векторів.
Остаточно маємо:
.
(26.6)
Рівність (26.6) визначає доведену теорему про зміну моменту кількості руху матеріальної точки відносно нерухомого центра.
Проектуючи обидві частини рівняння (26.6) на координатні осі, дістаємо:
,
,
.
(26.7)
Отже, перша похідна за часом від моменту кількості руху матеріальної точки відносно деякої осі дорівнює моменту сили, прикладеної до точки, відносно тієї самої осі.
Наслідки з теореми:
1. Якщо момент сили, прикладеної до точки, відносно деякого центра за весь час руху дорівнює нулю, то вектор-момент кількості руху матеріальної точки відносно того самого центра є векторною сталою величиною:
;
;
.
(26.8)
2. Якщо момент сили, прикладеної до точки, відносно деякої осі, наприклад за весь час руху дорівнює нулю, то момент кількості руху матеріальної точки відносно тієї самої осі є сталою величиною:
;
;
.
(26.9)