5.2. Перевірка адекватності динамічної моделі ор
Мірою точності апроксимації можна вважати максимальне значення різниці ординат
або ж максимальну абсолютну похибку
,
де:
- теоретична та експериментальна криві
розгону, яка не повинна перевищувати
заданого значення точності регулювання.
Точність апроксимації вважається задовільною, якщо зведена похибка δ=Δ×100% не перевищує 5%.
Всі розрахунки стосовно знаходження параметрів функції передачі ОР і перевірки адекватності динамічної моделі, проводимо в середовищі MATLAB і для цього складаємо програму:
clear;clc
ye=[500 500.4 501.2 502.3 503.5 507.3 512.1 515.6 519 522 525 528 530 532 533.5 535 537.8 538.9 539.7 540 540];
t0=[0 52 92.1 125 150 204.9 256.4 287.7 318 350 380 417 446 480 520 570 670 743 810 870 900];
yn=500;
dy=ye(length(ye))-ye(1);
He=(ye-yn)./dy;
k=dy/8
t05=328.66;
t09=605.75;
T1=328.66/3.67;
T2=605.75/6.67;
T=(T1+T2)/2
Ha=1-exp(-t0/T).*(1+t0/T+(t0/T).^2/2+(t0/T).^3/6);
plot(t0,Ha,'k',t0,He,'ko');grid;
xlabel('\tau,с'); ylabel('h^e(t)');
delta=max(abs(Ha-He))*100
Рис.5.3 Експериментальна „о” та знайдена „-” аналітично криві розгону отримані при 8% переміщені РО.
Коефіцієнт
передачі об’єкта
регулювання: k=5
;
Стала часу: T=90,18c.
Отже функція передачі об’єкта регулювання буде наступна:
.
Зведена похибка: = 2.2776%
Оскільки зведена похибка <5%, то ця функція передачі є адекватною і може бути застосованою для розрахунку параметрів автоматичного регулятора.
5.3 Розрахунок параметрів настроювання регулятора
Значення параметрів настроювання регулятора наближено можуть бути знайдені за спрощеною методикою, яка ґрунтується на припущенні про можливість описання об’єктів регулювання через функції передачі типу: аперіодична ланка першого порядку, інтегруюча ланка, диференційна ланка, ланка запізнення та інші. Зрозуміло, що ця методика не може бути застосована для об’єктів, які не описуються функціями передачі цих ланок. Тому для знаходження оптимальних значень параметрів настроювання регулятора необхідно застосувати спеціально розроблені теоретично обгрунтовані методи: метод розширених частотних характеристик, метод розрахунку параметрів за показником коливальності М. Для розрахунку САР, яка знаходиться під дією випадкових процесів, застосовують дисперсійний метод.
Розрахунок оптимальних параметрів настроювання за методом розширених частотних характеристик базується на амплітудо-фазовому критерії стійкості, який можна інтерпретувати як критерій запасу стійкості, якщо замість звичайних частотних характеристик застосувати розширені частотні характеристики.
Розширена частотна характеристика елемента з відомою функцією передачі визначаються заміною в ній оператора Лапласа:
де
w
– кругова частота;
- ступінь коливальності, який характеризує
запас стійкості; α – абсолютне значення
дійсної частини комплексного кореня
характеристичного рівняння;
- значення уявної частини комплексного
кореня характеристичного рівняння.
Умова забезпечення заданого запасу стійкості формулюється на основі амплітудно-фазового критерію стійкості Найквіста, в якому застосовуються розширені частотні характеристики розімкнутої системи автоматичного регулювання
де
-
розширена амплітудно-фазова характеристика
(АФХ) об’єкта регулювання,
-
розширена АФХ регулятора.
В якості регулятора вибираю ПІД-регулятор.
Функція передачі ПІД-регулятора має вигляд:
,
де
- коефіцієнт передачі регулятора;
- час ізодрому;
- час диференціювання.
В
загальному випадку границя заданого
запасу стійкості є деякою поверхнею в
тривимірному
просторі
параметрів настроювання
.
Якщо один з параметрів зафіксувати, то
розрахунок зводиться до
визначення
двох інших параметрів настроювання.
Так, якщо задатись часом диференціювання
,
то значення двох інших параметрів
настроювання ПІД-регулятора
розраховують
за формулами
Для
заданого m
в площині параметрів
,
будую
границю області запасу стійкості, з
якої визначаю оптимальні значення
параметрів настроювання (
)опт,
(
)опт.
Для деяких типів аналогових регуляторів
розраховані оптимальні значення
параметрів настроювання ПІД-регулятора
повинні задовольняти умову:
Програма
для знаходження
частот, що відповідають параметрам
настроювання ПІД-регулятора:
clear;clc;
w1=0; w2=0.03;
w=[w1:0.001:w2];
K=5; T1=90.18;
m=0.3;
p=-m.*w+i.*w;
W_op=K./((T1.*p+1).^4);
Fi_op=phase(W_op);
Fi_op1=atan(imag(W_op)./real(W_op));
plot(w,Fi_op,'r',[w1 w2],[-pi/2+atan(m) -pi/2+atan(m)],[w1 w2],[-pi -pi]), grid
xlabel('w, rad/sec'),ylabel('fi, rad')
Рис.5.4.Графік розширеної фазо-частотної характеристики ОР
З результатів виконання програми вмбираємо значення ω* та ω**:
ω*= 0,00335 рад/с
ω**= 0,00854 рад/с
Змінюючи частоту в діапазоні (ω*; ω**) будую криву області границі запасу стійкості і з неї знаходжу оптимальні параметри настройки ПІД-регулятора.
Програма в середовищі Matlab для кривої запасу стійкості регулятора при другій мінімальній інтегральній оцінці перехідного процесу.
Програма для знаходження запасу стійкостірегулятора:
clear,clc;
w=[0.00335:0.00001:0.00854];
T=90.18; k=5; m=0.3;
p=-m.*w+i.*w;
Wop=k./((T.*p+1).^4);
fi=phase(Wop);
Aop=abs(Wop);
kp_Tiz=-((m^2+1).*sin(fi).*w)./Aop;
kp=(-cos(fi)-m.*sin(fi))./Aop;
figure(1)
plot(kp,kp_Tiz,0.16,0.000975,'*'),grid
xlabel('kp'),ylabel('kp/Tiz')
[kp_TizMAX s]=max(kp_Tiz)
kpM=kp(s)
w0=w(s)
Результат виконання програми:
kp_TizMAX = 9.7525e-004;
s = 242
kpM = 0.1612
w0 = 0.0058
Рис.5.5. Границя області заданого запасу стійкості САР температури з ПІД-регулятором
Для розрахунку оптимальних параметрів регулятора задаюсь часом диференціювання Тд=23с.
Програма для знаходження настрою вальних параметрів ПІД-регулятора:
clear,clc
T=90.18; k=5; m=0.3; Td=23;
w=[0.00335:0.00001:0.00854];
p=-m*w+i*w;
Wor=k./(T*p+1).^4;
fi=phase(Wor);
Aor=abs(Wor);
hama=abs(fi)+atan(m)-pi;
kp_Ti=w.*sqrt(m^2+1).*(m*cos(fi)-sin(fi)).*(1./Aor)+w.^2*(1+m^2)*Td;
kp=-sqrt(m^2+1)*cos(fi).*(1./Aor)+2*Td*m.*w;
for i=1:length(w)
t=[0:2:1500];
Wop1=tf(k,[T 1]);
Wop2=tf(1,[T 1]);
Wop=Wop1*Wop2;
War1=tf(kp(i),[1]);
War2=tf(kp_Ti(i),[1 0]);
War3=tf([Td 0],[0 1]);
War=War1+War2+War3;
Wcap=Wop/(1+Wop*War);
y=step(Wcap,t)*10;
q=trapz(t,y.^2);
S(i)=q;
J2min=min(S);
if S(i)==J2min;
kp_Tiopt=kp_Ti(i);
kpopt=kp(i);
end
end
kpopt
kp_Tiopt
J2min
figure(1);plot(kp, kp_Ti,kpopt,kp_Tiopt,'*');grid;
xlabel('kp'); ylabel('kp/Ti');
figure(2);plot(kp,S,kpopt,J2min,'*');grid;
xlabel('kp'); ylabel('J2');
Wop1=tf(k,[T 1]);
Wop2=tf(1,[T 1]);
Wop=Wop1*Wop2;
War1=tf(kpopt,[1]);
War2=tf(kp_Tiopt,[1 0]);
War3=tf([Td 0],[0 1]);
War=War1+War2+War3;
Wcap=Wop/(1+Wop*War);
Wcap1=minreal(Wcap);
y=step(Wcap1,t)*10;
figure(3);plot(t,y);grid;
xlabel('t,c'); ylabel('T,^o C');title('Perehidnuyproces');
Результат виконання програми:
kpopt = 0.3382
kp_Tiopt =0.0015
J2min =6.7726e+004
Рис.5.6. Крива запасу стійкості регулятора з знайденими оптимальними параметрами регулятора за другою інтегральною оцінкою
Рис.5.7. Графік залежності між значеннями другої інтегральної оцінки якості J2 і параметром настроювання АР Кр
Рис.5.8. Перехідний процес
Функція передачі ПІД-регулятора:
