26. Рівнодіючі системи сил що сходяться.

Приведение к равнодействующей

Докажем, что данная система сил эквивалентна одной силе, т.е. приводится к равнодействующей силе.

Рисунок 1

В самом деле, так как сила есть вектор скользящий, то все силы данной системы можно перенести вдоль линий их действия в точку О. 

Далее, по четвертой аксиоме, силы F₁ и F₂ можно заменить их равнодействующей R_1,2(рисунок 1), которая определяется  диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах, и направленной по этой диагонали, т.е.

(F₁, F₂) ~ R_1,2,

где  R_1,2=F₁+F₂.

Далее можно записать аналогичные соотношения для полученной равнодействующей силыR^*_1,2 и силы F₃, тогда

(R_1,2 F₃) ~ (F₁, F₂, F₃) ~ R_1,2,3,

где R_1,2,3=F₁+F₂+F₃      и т.д.

Для системы N сил окончательно будем иметь

(F₁ F₂ ... F_N) ~ R^*,

R^*= F₁ + F₂ + ... + F_N= ΣF_i .              (1)

На рисунке 2, a показано построение равнодействующей указанным способом на примере системы, состоящей из четырех сил. Однако процесс определения равнодействующей удобнее вести иным путем, с помощью построения так называемого силового многоугольника. 

Из конца вектора силы F₁ (точки В) проводим вектор ВС, геометрически  равный силе F₂. Из конца этого вектора (точки С) проводим вектор СD равный силе F₃. Из конца этого вектора (точки D) проводим вектор DE, равный силе F₄. 

Полученный многоугольник ABCDE называется силовым многоугольником. Процесс его построения хорошо виден на рисунке 2, б. Стороны силового многоугольника называютсясоставляющими силами. Вектор АЕ, соединяющий начало А первой силы с концом Епоследней силы и направленный навстречу составляющим силам, называется замыкающей стороной силового многоугольника. 

Следовательно, равнодействующая системы сходящихся сил изображается в выбранном масштабе замыкающей силового многоугольника, построенного на составляющих силах. 

Нахождение равнодействующей системы сходящихся сил по правилу силового многоугольника называется векторным или геометрическим сложением сил.

Таким образом, мы доказали, что система сходящихся сил в общем случае эквивалентна одной силе, т.е. равнодействующей, которая приложена в точке пересечения линий действия всех сил и равна их геометрической сумме.

Рисунок 2

Вычисление равнодействующей

Для аналитического определения равнодействующей найдем ее проекции R_x, R_y, R_z на оси декартовой системы координат. Имеем

R_x = Σ F_kx ,        R_y = Σ F_ky  ,       R_z = Σ F_kz .         (2)

Тогда величина равнодействующей определится следующей формулой:

или

Для определения направления равнодействующей R* воспользуемся обычными выражениями для направляющих косинусов:

cos α = R_x/R ,      cos β = R_y/R   ,       cos γ = R_z/R   .       (5)

27. Теорема про три непаралельні сили

 Означення. Якщо під дією трьох непаралельних сил тіло знаходиться у стані рівноваги, то лінії дії сил лежать в одній площині і перетинаються в одній точці.

Нехай на тіло діє врівноважена система сил   (рис. 2.13).

 

.

 

Знайдемо головний момент системи відносно точки   (точки прикладання сили  ).Ураховуючи умови (2.33), маємо

 

            .                       (2.35)

 

Сума двох векторів дорівнюватиме нулю, якщо вони напрямлені по одній прямій, однакові за величиною і протилежні за напрямом.

Таким чином, із умови (2.35) виходить, що сили   і   лежать у одній площині. Оскільки сили   і   непаралельні, то їх лінії перетнуться в точці  . Знайдемо головний момент системи   відносно точки  :

 

.                                    (2.36)

 

Лінії дії сил   і   проходять через точку  , тоді

,  .                                       (2.37)

 

І з (2.36) випливає, що  .

Це означає, що лінія дії сили   проходить через точки   і  , які лежать у площинісил   і  . Таким чином, сили  ,   і   лежать у одній площині і лінії їхперетинаються в точці  .

28. Рассмотрим систему параллельных сил  {F₁, F₂, ..., F_n}. При повороте всех сил системы на один и тот же угол линия действия равнодействующей системы параллельных сил повернется в ту же сторону на тот же угол вокруг некоторой точки (рисунок 1.5, а).

Эта точка называется центром параллельных сил. 

Согласно теореме Вариньона, если система сил имеет равнодействующую, то ее момент относительно любого центра (оси) равен сумме моментов всех сил системы относительно того же центра (оси).

Рисунок 1.5

Для определения координат центра параллельных сил воспользуемся этой теоремой.

Относительно оси x 

 M_x(R) = ΣM_x(F_k),     _- y_CR = Σy_kFk        и        y_C = Σy_kFk /Σ_Fk.

Относительно оси y 

 M_y(R) = ΣM_y(F_k),       _- x_CR = Σx_kFk        и       x_C = Σx_kFk /Σ_Fk.

Чтобы определить координату  z_C, повернем все силы на 90° так, чтобы они стали параллельны оси  y (рисунок 1.5, б). Тогда

 M_z(R) = ΣM_z(F_k),        _- z_CR = Σz_kFk        и       z_C = Σz_kFk /Σ_Fk.

Следовательно, формула для определения радиус-вектора центра параллельных сил принимает вид

 r_C = Σr_kFk /Σ_Fk.

Свойства центра параллельных сил:

1 Сумма моментов всех сил  _Fk  относительно точки  C  равна нулю   ΣM_C(F_k) = 0.

2 Если все силы повернуть на некоторый угол  α, не меняя точек приложения сил, то центр новой системы параллельных сил будет той же точкой  C.