6. Векторний спосіб задання руху точки

Положення точки можна визначити за допомогою радіуса вектора ŕ (рис1), проведеного з деякої заданої нерухомої точки О в дану точку М. при русі точки радіус-вектора ŕ змінюється за величиною і напрямком. Кожному моменту часу t відповідає певне значення ŕ. Отже ŕ є функцією часу t тобто ŕ= ŕ(t). Функцію ŕ(t) вважають однозначною тому що розглядувана точка у даний момент часу може знаходитись лише в одному місці простору. Крім того ŕ(t) має бути неперервною функцією. У більшості задач механіки ця функція є двічі диференційованою функцією часу t. Рівняння ŕ= ŕ(t) називається кінематичним рівнянням руху точки у векторній формі. Це рівняння виражає закон руху точки а також рівняння траєкторії точки у векторній формі. Криву яка описує кінець будь-якого вектора за умови що початок його знаходиться весь час в одній і тій самій точці називають годографом вектора. Отже траєкторія точки є годографом радіуса вектора ŕ.

рис 1

7.Натуральний спосіб задання руху точки

Якщо траєкторія точки відома наперед(наприклад траєкторія руху потягу, трамвая, тролейбуса) то для визначення її руху в просторі достатньо задати положення точки на траєкторії. Тому одну з точок Мо на траєкторії беруть за початок відліку дугових координат оскільки положення рухомої точки М визначають її орієнтованою відстанню s яка відлічується по дузі траєкторії від вибраної точки відліку (рис 2). Отже s є функцією часу: s=s(t)

р ис 2 наведене рівняння визначає закон руху точки по траєкторії. Функція s=s(t) має бути однозначною і неперервною та диференційованою. Зауважимо що дугова координата точки s у загальному випадку відрізняється від шляху σ, що пройшла точка по траєкторії. Якщо проміжок часу [t1, t2], протягом якого рухається точка розбити на малі проміжки часу ∆tі(і=1,2,…,n), в кожному з яких точка рухається в одному напрямку , то шлях σ, пройдений точкою можна вирахувати за формулою

Якщо рух заданий координатним способом то пройдений шлях визначається за формулою

8. Понятие кривизны кривой.

Одной из важных характеристик кривой является мера ее изогнутости – кривизна. Пример. О двух плоских кривых ACB ⊂ Γ1 и ADB ⊂ Γ2 (рис 1)можно сказать, что кривая Γ2 более изогнута, чем Γ1 . Однако для того, чтобы строго оценить степень изогнутости плоской линии, необходимо ввести количественную характеристику ее изогнутости (кривизны). Рассмотрим на кривой точки M и M1 . Проведем в этих точках касательные к кривой. При переходе по кривой из точки M в точку M1 касательная поворачивается на угол Δϕ , который назыв. Углом смежности (рис 2)

рис 1 рис 2

9. Натуральний спосіб завдання руху точки

Цей спосіб завдання руху може бути застосований, якщо заздалегідь відома траєкторія руху точки (наприклад, заздалегідь відома траєкторія, залізничного вагона, що рухається по рейках, і т.д.). Нехай крива АВ є траєкторією точки М щодо системи відліку Oxyz (рис. 1.3). Зазначимо на траєкторії нерухому точку О', яку приймемо за початок відліку дугової координати s, і домовимося про напрями додатного і від’ємного відліку координати s.

Отже, на рис. 1.3 координата s для точок, що знаходяться на траєкторії праворуч початку відліку О', буде вважатися додатною, ліворуч О' – від’ємною.

Рис. 1.3

Тоді, щоб визначити положення точки в будь-який момент часу, треба знати залежність дугової координати від часу:

. (1.4) Рівняння (1.4) описує закон руху точки М уздовж траєкторії. Зазначимо, що величина s у рівнянні (1.4) визначає положення точки на лінії її руху, через відстань від точки О до точки М, вимірювану уздовж дуги траєкторії і взяту з відповідним знаком, а не пройдений точкою, що рухається, шлях.

Приско́рення  — векторна фізична величина, похідна швидкості за часом та за величиною дорівнює зміні швидкості тіла за одиницю часу.

Оскільки швидкість — похідна по часу від радіус-вектора   рухомої матеріальної точки, то прискорення можна записати, як другу похідну по часу від радіус-вектора:

Шви́дкість — фізична величина, що відповідає відношенню переміщення тіла до проміжку часу, за який це переміщення відбувалось. Швидкість — величина векторна, тобто вона має абсолютну величину і напрямок.

Швидкість, як векторна величина здебільшого позначається літерою   або  , а коли йде мова тільки про кількісне значення швидкості —   . Дотичне прискорення   - характеризує швидкість зміни модуля вектора швидкості точки (характеризує зміну швидкості за величиною).

Для рівномірного руху:          

-нормальна складова прискорення (нормальне прискорення) спрямована по нормалі до траєкторії й розглянутій точці убік до центру кривизни траєкторії. Криволінійну траєкторію можна представити як сукупність елементарних ділянок, кожний з яких може розглядатися як дуга окружності деякого радіуса R (називаного радіусом кривизни кривій в окружності даної точки траєкторії)

 

Нормальне прискорення характеризує швидкість зміни напрямку вектора швидкості (характеризує зміну швидкості за напрямом).

Модуль повного прискорення:

                           

Класифікація рухів залежить від тангенціальних і нормальних складових:

1)

2)                  

3)  

4)

5)

6)  

7)  

10. Рівномірний рух — механічний рух, під час якого тіло за однакові проміжки часу проходить однаковий шлях.

Одним із видів рівномірного руху є рівномірний прямолінійний рух, інший — рівномірне обертання, тобто обертання із сталою кутовою швидкістю. Швидкість рівномірного руху — фізична величина яка дорівнює відношенню переміщення до часу протягом якого це відбувається.

Рівнозмінний рух. Рівнозмінним називається рух точки по траєкторії, при якому дотичне прискорення залишається увесь час постійним: а_ = coпst.

ЗАКОНИ (1.19)

Знайдемо закон рівномірного руху. З формули (1.19) маємо ds = V_  dt. Якщо в початковий момент часу t₀ = 0 точка має координату s₀, то, беручи від лівої і правої частин рівняння визначені інтеграли (з урахуванням, що V_ = const), отримаємо

або .

Остаточно знаходимо закон рівномірного руху точки у вигляді

.

Знайдемо закон цього руху(рівнозмінного), вважаючи, що при t₀ = 0 виконується s =s₀ і V_ = V₀. Відповідно до першої з формул (1.23) dV_ = a_dt. Беручи від обох частин цього рівняння визначені інтеграли (з урахуванням, що а_ = coпst), отримаємо закон зміни швидкості точки при рівнозмінному русі:

. (1.27)

Формулу (1.27) представимо у вигляді

або .

Інтегруючи обидві частини цього рівняння, знайдемо закон рівнозмінного руху точки:

.