2.1.1.2 Критерий: Смирнова

При n <20..30 для обнаружения грубых погрешностей и промахов пользуются критерием Смирнова, для которого выражение (2.1) принимает вид

(2.2)

где  - случайная величина, зависящая не только от вероятности Р, но и от числа наблюдений п.

Зависимость  от п для разных Р для нормального закона распределения результатов наблюдений имеет вид, указанный на рис. 2.1. В табл. Б.1 приложения приведены зависимости  (n) для разных законов распределения.

Рисунок 2.1 - Зависимость  (n) в критерии Смирнова для нормального закона распределения

2.1.2 Критерии согласия

По виду кумулятивной кривой и гистограммы, а также по полученным экспериментально оценкам эксцесса и асимметрии, высказывают гипотезу о виде распределения результатов наблюдения.

Правдоподобие гипотезы о соответствии распределения результатов наблюдения выбранному закону проверяют с помощью так называемых критериев согласия. Таких критериев существует множество. Рассмотрим некоторые из них, нашедшие наибольшее применение на практике.

2.1.2.1 Критерий Колмогорова

В этом критерии в качестве меры расхождения кумулятивной кривой и теоретической (действительной) интегральной функцией распределения взято максимальное значение модуля разности

.

Колмогоров доказал, что какова бы ни была функция распределения непрерывной случайной величины X, при неограниченном возрастании числа независимых наблюдений п, вероятность неравенства

стремится к пределу

.

Зависимость изображена на рис. 2.2 и приведена в табл. Б.2.

Схема применения критерия Колмогорова заключается в следующем:

1) строится кумулятивная кривая и предполагаемая теоретическая интегральная функция распределения и определяется максимум D модуля разности между ними;

2) определяется величина , где п — число наблюдений;

3) по таблице Б.2 находится вероятность того, что максимальное отклонение между и не будет превышать D. Если меньше заданной вероятности, гипотезу отвергают.

Рисунок 2.2 - Зависимость в критерии Колмогорова

Критерий Колмогорова очень прост и поэтому его охотно применяют на практике. Следует, однако, заметить, что этот критерий можно применять только в случае, когда гипотетическое распределение полностью известно заранее из каких-либо теоретических соображений, т. е. когда известен не только вид функции , но и входящие в нее параметры. Обычно на практике известен только общий вид функции , а входящие в нее параметры определяются по данному статистическому материалу. В этом случае (при малом п) критерий Колмогорова дает завышенные значения вероятности , поэтому в ряде случаев можно принять как правдоподобную гипотезу, которая в действительности плохо согласуется с опытными данными.

2.1.2.2 Критерий Пирсона

В качестве меры расхождения гистограммы с теоретическим дифференциальным законом распределения вероятностей в критерии Пирсона принимается величина

, (2.3)

где т — число результатов наблюдений, попавших на j-й интервал гистограммы;

- действительное число результатов наблюдений, которые попали бы на j- й интервал, при полном соответствии эмпирического закона распределения гипотетическому.

Значение рассчитывается по формуле

,

где - значение гипотетической функции распределения в точке, соответствующей средине j-го интервала гистограммы, j=1,2,..,L;

п — общее число наблюдений;

- ширина интервала гистограммы.

Величина  распределена по закону Пирсона (рис.2.3). Распределение зависит от параметра k, называемого числом "степеней свободы".

Число степеней свободы равно числу интервалов гистограммы L, минус число независимых условий, наложенных на эмпирическое распределение. Для симметричных законов распределения такими условиями являются:

1) условие нормировки ;

2) требование равенства математического ожидания гипотетического распределения среднему арифметическому экспериментального распределения

3) требование равенства дисперсии гипотетического распределения оценке дисперсии экспериментального распределения

Рисунок 2.3 - Интегральная функция распределения Пирсона

Поэтому k=L-3. Для распределения Пирсона составлены соответст­вующие таблицы (см. табл. Б. З). Пользуясь этими таблицами можно найти для каждого и числа степеней свободы вероятность того, что величина, распределенная по закону , превзойдет это значение.

На практике вероятностью задаются и по таблицам определяют величину . Если то гипотеза о виде закона распределения подтверждается, если то отклоняется.

При проверке закона распределения по критерию Пирсона хорошие результаты получаются только если п> 40..50.