2 Определение границ случайных погрешностей при обработке прямых измерений с многократными наблюдениями

2.1 Основные теоретические сведения

При обработке многократных измерений решают две задачи. Во-первых, определяют некоторое приближенное значение измеряемой величины, называемое оценкой и наилучшим образом соответствующее полученным результатам. Во-вторых, определяют вероятные отклонения результатов измерений от оценки измеряемой величины. Цель обработки результатов многократных измерений состоит в том, чтобы уменьшить значение случайной погрешности.

При нахождении границ случайной погрешности следует различать результаты наблюдений (и их погрешности, распределенные также, как и результаты наблюдений) и результат измерения, за который принимают оценку математического ожидания результатов наблюдений (и его погрешность, распределенная также, как и результат измерения).

Для определения границ случайной погрешности по результатам многократных наблюдений следует выполнить следующие операции.

1. Исключить из результатов наблюдения грубые погрешности (промахи).

2. Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений или другую оценку математического ожидания, принимаемую за результат измерений (см. пп. 1.1.4).

3. Вычислить оценку СКО результата наблюдения .

4. Вычислить оценку СКО результата измерения .

5. Проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат выбранному закону распределения.

6. Вычислить доверительные границы случайной погрешности результатов наблюдений.

7. Вычислить доверительные границы случайной погрешности результатов измерения.

Рассмотрим порядок выполнения перечисленных операций.

2.1.1 Грубые погрешности и промахи

Грубые погрешности и промахи являются особым видом случайных погрешностей. Грубые погрешности вызваны, как правило, резкими кратковременными изменениями условий измерений: механическими толчками, вибрациями, колебаниями внешних условий, скачками питающего напряжения. Промахи относятся к личным погрешностям и обусловлены неправильными действиями оператора (некорректным считыванием показаний прибора, неправильной их записью и т. п.). И те, и другие погрешности вызывают заметные отличия в результатах наблюдений. Такие "подозрительные" результаты не подчиняются закону распределения основной массы результатов наблюдений и должны быть устранены из их числа. Обнаружение грубых погрешностей и промахов производится с помощью специальных критериев, основанных на аппарате математической статистики.

2.1.1.1 Критерий Райта

Результат измерения x_i (x_max или x_min) не принадлежит заданному распределению (т. е. отягощен грубой погрешностью или промахом) с заданной вероятностью Р, если

, (2.1)

где t_p — доверительный коэффициент, или, другими словами, если x_i выходит за границы интервала .

Для нормального распределения обычно выбирают Р=0,9973, для которого t_p=3, поэтому в этом случае критерий известен под названием "правило 3-х сигм". Вероятность отклонения "нормального" результата наблюдения за указанные границы в этом случае равна малой величине 1- -Р=0,0027.

Аналогичным образом можно сформулировать данный критерий и для других распределений. Так, для распределения Лапласа значение t_р для вероятности 0,9973 равно 4,18. Для распределений, обладающих, в отличие от нормального, границами, следует выбирать Р=1. В этом случае вероятность появления результатов наблюдения за границами распределения равна нулю.

Значения t_p для разных распределений указаны в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Значения t_p для различных распределений

Вид распределения	Арксинуса	Равномерное	Симпсона	Нормальное	Лапласа
tp				3	4.18

Недостаток критерия — он справедлив для выборок с количеством наблюдений n> 20..30, для которых можно считать, что и .