6.1.2 Определение параметров линейной зависимости

На практике наиболее распространен случай т - 1 (линейное урав­нение)

(6.15)

Для этого случая из выведенных ранее формул получаем

(6,16)

(6,17)

, ; (6,18)

(6,19)

(6,20)

, (6.21)

(6.22)

где t_s определяется из распределения Стьюдента по числу степеней свободы (п-2) и выбранной доверительной вероятности Р_д .

6.1.3 Определение параметров неполиномиальных зависимостей

В результате метрологических исследований нередко приходится сталкиваться со случаем, когда при определении нелинейной зависимости повышение степени полинома в разумных пределах не приводит к суще­ственному уменьшению погрешности аппроксимации. В этом случае при­меняют следующие приемы.

1. Разбиение области определения функции на несколько участков с последующей ее аппроксимацией на каждом участке,

2. Преобразование функции в линейную зависимость путем замены переменных ; . Этот прием хорошо реализуется для функций следующего вида:

а) показательная для которой в результате замены переменной , получаем , где ;

б) степенная , для которой в результате замены перемен­ных , , получаем , где ;

в) логарифмическая , для которой в результате заме­ны переменной получаем

г) гиперболическая для которой в результате замены переменной получаем

д) дробно-линейная функция первого вида , для которой в результате замены переменной получаем ;

е) дробно-линейная функция второго вида , для которого в результате замены переменных , получаем

Графики перечисленных функций приведены на рис. 6.1. При определении погрешности нахождения оценок ; необхо­димо помнить, что в случаях показательной и степенной функции параметр связан с параметром выражением . Поэтому погрешности и будут связаны соотношением

3. Линеаризация нелинейных уравнений методом последователь­ных приближений

Общий метод решения этой задачи основан на допущении, что несо­вместность условных уравнений невелика, т.е. их невязки малы. Тогда, взяв из условной системы столько уравнений, сколько в ней неизвестных, их решением находим начальные оценки неизвестных . Полагая далее, что подставляя эти выражения в условные уравнения, раскладываем условные уравнения в ряды. Сохраняя лишь члены с первыми степенями поправок получим

Переписав полученное выражение в виде

,

можно видеть, что мы получили условную систему линейных уравнений относительно поправок . Решение этой системы с помощью МНК

дает нам их оценки и СКО. Тогда Поскольку - неслучайные величины, то S²( ) = S²( ). Получив оценки можно сделать второе приближение и т.д.

Рисунок 6.1 - Графики аппроксимирующих функций

уравнения, раскладываем условные уравнения в ряды. Сохраняя лишь члены с первыми степенями поправок получим

Переписав полученное выражение в виде

,

можно видеть, что мы получили условную систему линейных уравнений относительно поправок . Решение этой системы с помощью МНК

дает нам их оценки и СКО. Тогда Поскольку - неслучайные величины, то S²( ) = S²( ). Получив оценки можно сделать второе приближение и т.д.