6.1.1 Метод наименьших квадратов

В МНК оценки параметров искомой зависимости определяют из ус­ловия, что сумма квадратов отклонений экспериментальных значений Y от расчетных значений минимальна, т.е.

, (6.4)

где - невязки.

При рассмотрении МНК ограничимся случаем, когда искомая функ­ция - полином, т.е.

. (6.5)

Задача заключается в том, чтобы определить такие оценки коэффи­циентов , при которых выполнялось бы условие (6.4).

Для этого запишем выражение для невязок в каждой эксперимен­тальной точке

(6.6)

Число точек п выбирают значительно больше, чем т +1 (это необ­ходимо для уменьшения погрешности определения .

Согласно принципу наименьших квадратов (6.4), наилучшими значе­ниями коэффициентов будут те, для которых сумма квадратов невязок

, (6,7)

будет минимальна. Минимум функции многих переменных , как из­вестно, достигается тогда, когда все ее частные производные равняются нулю. Поэтому, дифференцируя (6.7), получаем

(6.8)

Следовательно, вместо исходной условной системы (6.6), которая во­обще говоря есть система несовместная., так как имеет я уравнений с т +1 неизвестными (п>т+1 ), мы получим систему линейных относи­тельном уравнений (6.8). В ней число уравнений при лю­бом п точно равно числу неизвестных т + 1. Система (6.8) называется нормальной системой. Таким образом, поставленная задача заключается в приведении условной системы к нормальной.

Воспользовавшись обозначениями, введенными Гауссом,

и после сокращения всех уравнений на 2 и перегруппировки членов, полу­чим

ё (6.9)

Анализируя выражение (6.5) и (6.9) видим, что для получения перво­го уравнения нормальной системы достаточно просуммировать все урав­нения системы (6.5). Для получения второго уравнения нормальной сис­темы (6.9), суммируются все уравнения, предварительно умноженные на x_i. То есть, для получения k -го уравнения нормальной системы необ­ходимо умножить уравнения системы (6.9) на x_i^k-1 и просуммировать полученные выражения.

Наиболее кратко решение системы (6.9) описывается с помощью определителей

где главный определитель D равен

(6.10)

а определители D_j получаются из главного определителя D путем замены столбца с коэффициентами при неизвестном a_j на столбец со свободными членами

. (6.11)

Оценка СКО величин найденных как результат совместных из­мерений, выражается следующей формулой

, (6.12)

где - алгебраическое дополнение элементов главного оп­ределителя D получаемое путем удаления из матриц определителя столбца и строки ;

, (6.13)

где вычисляются при подстановке в каждое условное уравнение оценок искомых величин .

Доверительный интервал погрешности определения вычисляют по формуле

, (6.14)

где t_s определяется из распределения Стьюдента по числу степеней свободы (п-т-1) и выбранной доверительной вероятности Рд .

При увеличении числа т объем выполненной работы быстро растет, и поэтому на практике обычно ограничиваются полиномом не выше треть­ей степени.

МНК и его применению посвящена обширная литература. В ней тео­ретически показано, что при нормальном распределении погрешностей МНК приводит к оценкам неизвестных, удовлетворяющих принципу мак­симального правдоподобия.