5.1.2 Частные случаи вычисления погрешностей при косвенных измерениях

Наиболее простыми, но распространенными случаями зависимости между аргументами при косвенных измерениях являются случаи линейной зависимости, степенных одночленов и дифференциальной функции.

В случае линейной зависимости

, (5.16)

не требуется проведения линеаризации выражения для погрешности, кото­рое, очевидно, будет иметь вид

,

То есть, вместо коэффициентов влияния можно использовать коэф­фициенты из выражения (5.16).

Дальнейшее определение погрешности измерения будет произво­диться аналогично косвенным измерениям с линеаризацией.

В случае зависимости в виде степенных одночленов уравнение измерения будет иметь вид

(5.17)

Из этого выражения можно определить коэффициенты влияния

. (5.18)

Подставляя (5.18) в (5.3) и деля обе части на X, получаем искомую относительную погрешность

(5.19)

где - относительные погрешности измерения аргументов.

Таким образом, для уравнения измерения в виде степенных одночле­нов и представлении погрешностей в относительной форме, в качестве коэффициентов влияния берутся степени соответствующих одночленов.

В метрологии часто встречается дифференциальная функция вида

X =x₁ - x₂ .

Дисперсия результата измерения в этом случае будет равна

Малое значение дисперсии может быть только в случае, когда = 1, в этом случае а при

Во всех остальных случаях отлично от нуля. При отсутствии корреляции . Максимальное значение дисперсии результата измерения будет в том случае, когда = -1 в этом случае

. Таким образом, при измерении малых разностей дисперсия результата измерения может быть соизмерима с самим результатом измерения.

5.2 Пример выполнения контрольного задания

5.2.1 Задание

Определите результат косвенных измерений величины и границы его погрешности для приведенных в табл. 5.1 результатов многократных измерений Х₁ и Х₂ с учетом корреляции между ними. Доверительная вероятность Рд = =0,95.

Таблица 5.1

Результаты многократных измерений

X1	X2	X1	X2
21.582	20.585	20.683	21.749
21.515	20.595	20.750	21.836
21.410	20.641	20.584	21.882
21.279	20.724	20.986	21.881
21.133	20.840	21.131	21.834
20.987	20.982	21.277	21.743
20.855	21.143	21.409	21.615
20.751	21.311	21.514	21.458
20.684	21.476	21.581	21.285
20.660	21.625	21.605	21.108

5.2.2 Выполнение задания

1. Определяем средние арифметические аргументов уравнения изме­рения:

2. Определяем оценки дисперсии результатов наблюдения аргументов

и оценки дисперсии результатов их измерения

, .

3. Рассчитаем значения коэффициентов влияния

, .

4. Проверяем возможность применения линеаризованной формулы для оценки границ погрешности

, ,

,

где ,

для и

Так как неравенство выполняется, то линеаризация возможна.

5. Рассчитаем оценку корреляционного момента

6. Рассчитаем коэффициент корреляции

.

7. Проверяем наличие корреляции между x₁ и х₂ по формуле (5.13)

где находим по табл. Б.5. Для вероятности P_Д = 0,95 и числа наблюдений n -2 = 18, t_s = 2,11.

Так как 2,54 > 2,11, т.е. неравенство не выполняется, следовательно, налицо корреляционная связь между x₁ и х₂.