5.1.1 Оценивание случайных и неисключенных остатков систе­матических составляющих погрешностей косвенных измерений

Погрешности результатов измерения аргументов могут быть заданы не их общими границами, а параметрами случайных и неисключенных остатков систематических погрешностей. В этом случае оценивают от­дельно систематическую и случайную составляющие погрешности кос­венного измерения, а затем объединяют полученные оценки.

Что касается суммирования неисключенных остатков систематиче­ских погрешностей, то оно осуществляется в зависимости от наличия све­дений о распределении погрешностей с использованием выражений (5.6) -(5.9), в которых вместо погрешностей измерений аргументов следует под­ставить соответствующие границы для неисключенных остатков система­тических погрешностей .

Случайные погрешности результатов косвенных измерений сумми­руются следующим образом.

Погрешность результата косвенного наблюдения, имеющего случай­ные погрешности аргументов будет равна

Определим дисперсию этой погрешности

к. последнее слагаемое равно нулю, то

(5.10)

В этом выражении - ковариационнаяфункция (корреляционный момент), равная нулю, если погрешности аргументов независимы друг от друга.

Вместо ковариационной функции часто пользуются коэффициентом корреляции

В этом случае дисперсия результата наблюдения будет иметь вид

(5.12)

Для получения дисперсии результата измерения необходимо разде­лить это выражение на число измерений п.

В этих выражениях r_i,j - коэффициенты попарной корреляции между погрешностями измерений. Если r_i,j = 0, то второе слагаемое в правой час­ти (5.12) равно нулю и общее выражение для погрешности упрощается. Значение r_i,j либо известно априорно (в случае однократных измерений), либо (для многократных измерений) его оценка определяется для каждой пары аргументов x_i и x_j по формуле

Наличие корреляционной связи между погрешностями аргументов имеет место в том случае, когда аргументы измеряются одновременно, однотипными приборами, находящимися в одинаковых условиях. Причи­ной возникновения корреляционной связи является изменение условий измерения (пульсации напряжения питающей сети, переменные наводки, вибрации и т.д.). О наличии корреляции удобно судить по графику, на ко­тором изображены пары последовательно получаемых результатов изме­рений величин x_i и x_j (рис. 5.1).

При малом числе наблюдений может оказаться, что даже при отсутствии корреляционной связи между аргументами.

В этом случае необходимо пользоваться числовым критерием отсут­ствия корреляционной связи, который состоит в выполнении неравенства

(5.13)

Рисунок 5.1 - Зависимость между параметрами аргументов косвенных измерений при наличии (а, б) и отсутствии (в) корреляционной связи

где t_s - коэффициент Стьюдента для заданной вероятности и числа степеней свободы (п- 2) (табл. Б.5).

При наличии корреляции между погрешностями измерения аргумен­тов при нелинейной связи между аргументами (или при неизвестных рас­пределениях погрешностей аргументов) для определения результатов косвенного измерения и его погрешностей используют метод приведения.

В соответствии с этим методом результат косвенного измерения рас­считывают по формуле

где рассчитывают по формуле (5.1):

.

В этом случае среднее квадратичное отклонение случайных по­грешностей результата косвенного измерения вычисляют по формуле

После определения оценки дисперсии результатов измерения грани­цы случайной погрешности определяются по формуле

(5.14)

где при неизвестном результирующем распределении берется из неравенства Чебышева

Неравенство Чебышева дает завышенную оценку погрешности ре­зультата измерений. Поэтому, когда число аргументов больше 4, распре­деление их одномодальны и среди погрешностей нет резко выделяющихся, а число измерений, выполненных при измерении всех аргументов превы­шает 25-30, то определяется из нормированного нормального распределения для доверительной вероятности .

Трудности возникают при меньшем числе наблюдений. В принципе можно было бы воспользоваться распределением Стьюдента, но неизвест­но как в этом случае определить число степеней свободы. Точного реше­ния эта задача не имеет. Приближенную оценку числа степеней свободы, называемую эффективной, можно найти по формуле, предложенной Б.Уэлчем

(5.15)

Имея и заданную вероятность Рд можно найти по распределению Стьюдента и. следовательно, .

Если при разложении в ряд Тейлора необходимо учитывать члены второго порядка, то дисперсию результата наблюдения следует определять по формуле

Границы суммарной погрешности косвенных измерений оценивают на основе композиции распределения случайных и неисключенных остат­ков систематических погрешностей следующим образом.

Предварительно выявляется соотношение между границами суммар­ной неисключенной систематической погрешности и СКО случайной погрешности

Если r < 0,8, то систематической погрешностью пренебрегают и в качестве доверительных границ результата принимают доверительные границы составляющей . Если r > 8, то пренебрегают случайной со­ставляющей и в качестве границы погрешности результата измерения принимают границу суммарных не исключенных остатков систематиче­ской погрешности. При промежуточных значениях 0,8 < r < 8 суммарную погрешность результата измерения находят по формуле

где коэффициент К находят из графика на рис.5.2.

Во многих случаях можно принять максимальные значения коэффи­циента К = 0,8 для Р= 0,95 и К= 0,85 для Р=0,99.

Результат косвенного измерения записывают в виде

Рд

или Рд

Если предполагают исследование и сопоставление результатов изме­рений или анализ погрешности, то результат измерения и его погрешность представляют в виде , а, (Рд).

В общем случае, при многократных косвенных измерениях статисти­ческая обработка результатов сводится к выполнению следующих опера­ций:

1) из результата наблюдений каждого аргумента исключают извест­ные систематические погрешности;

2) проверяют, соответствует ли распределение групп результатов ка­ждого аргумента заданному закону распределения;

3) проверяют наличие резко выделяющихся погрешностей (промахов) и исключают их;

4) вычисляют оценки аргументов и параметры их точности;

5) проверяют отсутствие (наличие) корреляции между результатами наблюдений аргументов попарно;

6) вычисляют результат измерений и оценки параметров его точно­сти;

7) находят доверительные границы случайной погрешности, неис­ключенную систематическую погрешность и общую погрешность результата измерения.

Рисунок 5.2 - Зависимость коэффициента К от соотношения