5 Обработка результатов косвенных измерений

5.1 Основные теоретические сведения

При косвенных измерениях значение искомой величины находят по результатам прямых измерений других величин, с которыми измеряемая величина связана функциональной зависимостью. Пример косвенных из­мерений - измерение удельного сопротивления проводника по результатам измерения его сопротивления R , площади поперечного сече­ния и длины l .

В общем случае при косвенных измерениях имеет место нелинейная зависимость между измеряемой величиной X и ее аргументами x₁,x₂,...,x_m

X = f(x₁,x₂,x₃,...,x_m). (5.1)

Функция f должна быть известна из теоретических предпосылок или, установлена экспериментально с погрешностью, которой можно пренеб­речь.

Если каждый из аргументов x_i характеризуется своей оценкой , и погрешностью

,

то (5.1 ) запишется в следующем виде:

. (5.2)

Выражение (5.2) можно разложить в ряд Тейлора по степеням :

где R₀ - остаточный член ряда.

Из этого выражения можно записать абсолютную погрешность изме­рения X

. (5.3)

Если принять R₀ = 0, что справедливо при малых погрешностях аргу­ментов ( ) , то получаем линейное выражение для погрешности изме­рения. Такая операция называется линеаризацией нелинейного уравнения (5.3). В получаемом в этом случае выражении для погрешности

df/dx_i = W_i - коэффициенты влияния, a - частные погрешности. Пренебречь остаточным членом при оценке погрешности допустимо не всегда, т.к. в этом случае оценка погрешности оказывается смещенной. Поэтому, когда связь между X и х, в выражении (5.1) нелинейная, прове­ряют допустимость линеаризации по следующему критерию

(5.4)

где - оценка дисперсии результата измерения i -го аргумента, а в качестве остаточного члена берут член ряда второго порядка

, (5.5)

Если известны границы погрешностей аргументов , (случай наи­более часто встречающийся при однократных измерениях), то легко опре­делить максимальную погрешность измерения X:

(5.6)

Эту оценку обычно принимают при однократных измерениях и числе аргументов меньше 5.

При большем числе аргументов прибегают к вероятностному сум­мированию, т.к. оценка (5.6) оказывается для большинства случаев завышенной. В этом случае

, (5.7)

где и t_Pi. - доверительные коэффициенты для распределений общей погрешности и погрешности аргументов, соответствующие своим вероят­ностям.

При нормальном распределении всех аргументов и одинаковых дове­рительных вероятностях, выражение (5.7) упрощается

(5.8)

Обычно, особенно при однократных измерениях, законы распределения аргументов неизвестны, а вид суммарного распределения определить практически невозможно, учитывая трансформацию законов распре­деления при нелинейной связи измеряемой величины X и ее аргументов. В этом случае считают законы распределения аргументов равновероятны­ми. При этом доверительная граница Х погрешности результата косвенного измерения определится по формуле

, (5.9)

где К_р зависит от выбранной вероятности Р_д , числа слагаемых т и соотношения между ними. При доверительной вероятности Р_д =0,95 зна­чение поправочного коэффициента К_р принимают равным 1,1. При до­верительной вероятности Р_д =0,99 поправочный коэффициент К _Р при­нимают равным 1 ,4, если число суммируемых составляющих т > 4 , если т 4 , то значение поправочного коэффициента выбирают из рис. 3.1.