4.1.1 Измерения равноточные

Оценку математического ожидания результатов наблюдений (резуль­тат измерения) для объединенных групп определяют по формуле

Рисунок 4.2 - Алгоритм обработки двух групп наблюдений

. (4.5)

Оценка дисперсии результата измерения, очевидно, описывается вы­ражением

.

Для преобразования этого выражения величину представим как

.

Так как с учетом выражения (4.6)

.

то эту сумму можно записать следующим образом

.

Поскольку ,

то окончательное выражение для оценки дисперсии результата измерения будет иметь вид

. (4.7)

После получения оценки дисперсии вычисляются границы случайной погрешности по формуле (2.29)

,

в которой для (п₁ + п₂) > 30 берется для нормального распределения.

4.1.2 Измерения неравноточные

При неравнорассеянных результатах измерения в группах их объеди­нение осуществляется таким образом, чтобы получить наиболее эффек­тивную оценку математического ожиданиях. Эту оценку будем искать, используя принцип максимального правдоподобия (пп.1.1.4).

Если средние арифметические в группах Xj можно считать распреде­ленными по нормальному закону, то функцию правдоподобия можно представить в виде

. (4.8)

Логарифмическая функция правдоподобия

. (4.9)

Нам нужно найти эффективную оценку , поэтому приравниваем нулю производную L по

Отсюда

(4.10)

Это так называемое средневзвешенное, которое принимается за оцен­ку математического ожидания объединенных групп. Для равных диспер­сий из выражения (4.10) получаем выражение (4.5).

Оценка дисперсии

. (4.11)

После получения оценки дисперсии вычисляют границы случайной погрешности по формуле (2.29)

,

в которой для (п₁ + п₂) > 30 берется для нормального распределения.

4.2 Пример выполнения контрольного задания

4.2.1 Задание

Определите результат измерения и границы его погрешности для за­данных ниже (табл. 4.1) наблюдений, если известно, что наблюдения в группах распределены по одному и тому же закону. Доверительная веро­ятность Р_д= 0,95.

Таблица 4.1

Две группы наблюдений

X1	X2	X1	X2	X1	X2	X1	X2
21.582	20.585	20.987	20.982	20.683	21.749	21.277	21.743
21.515	20.595	20.855	21.143	20.750	21.836	21.409	21.615
21.410	20.641	20.751	21.311	20.854	21.882	21.514	21.458
21.279	20.724	20.684	21.476	20.986	21.881	21.581	21.285
21.133	20.840	20.660	21.625	21.131	21.834	21.605	21.108

4.2.2 Выполнение задания

1. Определяем средние арифметические значения для каждой группы по формуле (4.1):

= 21,132,

= 21,316.

2. Находим модуль разности полученных средних арифметических по формуле (4.2):

=0,184.

3. Определяем оценку дисперсии результатов наблюдений в каждой из групп по формуле (4.3):

= 0,117,

= 0,21 23.

4. Рассчитываем суммарную оценку дисперсии результатов измере­ния этих групп по формуле (4.4):

= (0,1115+0,2123)/20 = 0,01619.

5. По заданной доверительной вероятности Р_д=0,95, считая закон рас­пределения модуля разности средних арифметических значений групп нормальным (т.к. n₁+n₂=40>30), определяем по табл. 2.2 значение коэффи­циента t_p= 1,96, после чего производим сравнение = 0,254 и G. Так как 0,184<0,254, то отклонение средних арифметических групп считаем несущественным и переходим к проверке групп на равнорассеянность (равноточность).

Для проверки равнорассеянности (равноточности) измерений в груп­пах воспользуемся выражениями

1. По вычисленным значениям ₁ и ₂, определяем величину

= 1.904>1.

2. По заданной доверительной вероятности Р_д =0,95, по табл. Б.7 рас­пределения Фишера для n₁= n₂ =20 находим значение параметра =2.17.

3. Производим сравнение и . Так как 1,904< 2,17, серии измере­ний можно считать равнорассеянными.

Оценку математического ожидания результатов наблюдений (резуль­тат измерения) для объединенных групп определяем по формуле (4.5)

=(21.132+21.316)/2=21.224

Оценка дисперсии результата измерения описывается выражением

Границы погрешности результата измерения определим по формуле (2.29)

где t_p=l,96 (определяем из табл. 2.2) для заданной доверительной ве­роятности Р_д=0,95 для нормального закона распределения. Результат измерения окончательно запишем в виде 21,224 ±0,127, d_a =0,95.