(Для случайных погрешностей);
.
(3.14)
Границы погрешности можно определить непосредственно из гистограммы, находя границы доверительного интервала, соответствующего заданной доверительной вероятности. Последняя соответствует площади под гистограммой, ограниченной перпендикулярами, возведенными из точек на оси абсцисс, соответствующих границам погрешности (рис. 3.2).
|
Рисунок 3.2 - Композиция 2-х равномерных законов распределения случайных погрешностей |
3.2 Пример выполнения контрольного задания
3.2.1 Задание
Постройте композицию заданных в табл. 3.4 законов распределения суммы трех составляющих погрешности
и найдите оценки ее математического ожидания и дисперсии.
Таблица 3.4 - Законы распределения составляющих погрешности
Номер закона |
Параметр |
Номер интервала в законе распределения |
||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
1 |
p1(x) |
3.0 |
1.4 |
1.2 |
1.4 |
3.0 |
x |
7.2 |
7.3 |
7.4 |
7.5 |
7.6 |
|
2 |
p2(x) |
1.25 |
3.75 |
3.75 |
1.25 |
- |
x |
2.5 |
2.6 |
2.7 |
2.8 |
- |
|
3 |
p3(x) |
2.5 |
2.5 |
2.5 |
2.5 |
- |
x |
5.2 |
5.3 |
5.4 |
5.5 |
- |
|
3.2.2 Выполнение задания
1.
Построим гистограммы законов распределения
(рис. 3.3), учитывая, что значения х
соответствуют серединам
столбиков гистограмм, а
-
их высотам. Из рис.
3.3 видно, что первое распределение можно
отнести к распределениям вида арксинус,
второе — к треугольному, а третье — к
равномерному. Ширина интервалов для
всех гистограмм
равна 0,1.
Рисунок 3.3 - Гистограммы заданных законов распределения
Таблица 3.5
Построение композиции первых двух законов распределения
p1(x) p2(x) |
3.0 7.2 |
1.4 7.3 |
1.2 7.4 |
1.4 7.5 |
3.0 7.6 |
1.25 2.5 |
3.75 9.7 |
1.75 9.8 |
1.5 9.9 |
1.75 10.0 |
3.75 10.1 |
3.75 2.6 |
11.25 9.8 |
5.25 9.9 |
4.5 10.0 |
5.25 10.1 |
11.25 10.2 |
3.75 2.7 |
11.25 9.9 |
5.25 10.0 |
4.5 10.1 |
5.25 10.2 |
11.25 10.3 |
1.25 2.8 |
3.75 10.0 |
1.75 10.1 |
1.5 10.2 |
1.75 10.3 |
3.75 10.4 |
2. Осуществляем композицию первых двух законов распределения, для чего представим их в виде верхней строки и левого столбца таблицы 3.5. Заполнение табл. 3.5 осуществляем аналогично табл. 3.3.
3. После заполнения таблицы 3.5 производится суммирование произведений Р1(х)-р2(х), имеющих одинаковые суммы аргументов xi+xj
(лежащие на одной диагонали
табл. 3.5). Перемножая полученные суммы
на
получаем композицию первых двух законов
распределения (верхняя строка в табл.
3.6). Гистограмма полученного распределения
изображена на рис. 3.4.
Рисунок 3.4 - Гистограмма композиции двух первых законов распределения
4. Добавляем к полученному дискретному закону распределения третий закон распределения в виде левого столбца таблицы 3.6, и заполняя таблицу также, как и 3.5, получаем композицию трех законов распределения (табл. 3.7), гистограмма которой приведена на рис. 3.5.
Таблица 3.6
Построение композиции трех законов распределения
p1.2(x) p3(x) |
0.375 9.7 |
1.3 9.8 |
1.8 9.9 |
1.525 10.0 |
1.525 10.1 |
1.8 10.2 |
1.3 10.3 |
0.375 10.4 |
2.5 5.2 |
0.9375 14.9 |
3.25 15.0 |
4.5 15.1 |
3.8125 15.2 |
3.8125 15.3 |
4.5 15.4 |
3.25 15.5 |
0.9375 15.6 |
2.5 5.3 |
0.9375 15.0 |
3.25 15.1 |
4.5 15.2 |
3.8125 15.3 |
3.8125 15.4 |
4.5 15.5 |
3.25 15.6 |
0.9375 15.7 |
2.5 5.4 |
0.9375 15.1 |
3.25 15.2 |
4.5 15.3 |
3.8125 15.4 |
3.8125 15.5 |
4.5 15.6 |
3.25 15.7 |
0.9375 15.8 |
2.5 5.5 |
0.9375 15.2 |
3.25 15.3 |
4.5 15.4 |
3.8125 15.5 |
3.8125 15.6 |
4.5 15.7 |
3.25 15.8 |
0.9375 15.9 |
Таблица 3.7
Композиция трех законов распределения
p1.2.3(x) |
0.09735 |
0.41875 |
0.86875 |
1.25 |
1.5375 |
1.6625 |
x |
14.9 |
15.0 |
15.1 |
15.2 |
15.3 |
15.4 |
p1.2.3(x) |
1.5375 |
1.25 |
0.86875 |
0.41875 |
0.09735 |
- |
x |
15.5 |
15.6 |
15.7 |
15.8 |
15.9 |
- |
Рисунок 3.5 - Гистограмма композиции трех законов распределения
5. Из рис. 3.5 видно, что
полученный закон распределения по форме
близок к нормальному. Оценки математического
ожидания
и
дисперсии
для
этого распределения рассчитываем по
формулам (3.13) и (3.14):
=15,4;
=0,047.