3 Построение и определение характеристик композиции законов распределения при суммировании погрешностей измерения

3.1 Основные теоретические сведения

Погрешность измерения, как правило, вызывается разнообразными одновременно действующими причинами и поэтому может состоять из большого числа т составляющих. Рассмотрим, как из этих составляющих (считаемых независимыми) формируется результирующая погрешность

Каждую из составляющих можно рассматривать как случайную величину, имеющую свой закон распределения. Очевидно, что закон распределения результирующей погрешности является композицией законов распределения составляющих . При этом математическое ожидание и дисперсия распределения результирующей погрешности является суммой соответственно математических ожиданий и дисперсий составляющих

(3.1)

(3.2)

Известно, что каждая из составляющих включает в себя две компоненты — случайную и систематическую . Поскольку случайная погрешность — величина центрированная (т. е. для нее справедливо ), а систематическая компонента является постоянной величиной с нулевой дисперсией ,то , и , и поэтому

(3.3)

. (3.4)

Таким образом, при формировании результирующей погрешности систематические составляющие суммируются арифметически.

Случайные погрешности характеризуются своими границами , поэтому такой подход к их суммированию применен быть не может. Действительно, как следует из (3.4), границы  случайной компоненты результирующей погрешности будут равны

. (3.5)

Значение доверительного коэффициента в выражении (3.5) зависит от доверительной вероятности и вида суммарного распределения случайных составляющих погрешности . Последнее зависит от числа случайных составляющих т и их законов распределения (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Границы погрешности и доверительный коэффициент для суммы т случайных погрешностей

Законы распределения	m4	m4
Известны	tp - определяется для композиции законов распределения	tp - для нормального закона
Нормальные	tp - для нормального закона
Неизвестны (считаются равномерными)	tp - для композиции равномерных законов распределения (табл. 3,2)	tp - для нормального закона

Для , независимо от законов распределения , их композиция близка к нормальному закону, поэтому (см. табл. 3.1). Композиция нормальных законов распределения для любого m также является нормальным распределением, поэтому

. (3.6)

При неизвестном законе распределения , считают, что любое значение погрешности на доверительном интервале , равновероятно, поэтому закон распределения всех принимается равномерным. Для равномерного закона (для ), поэтому для

. (3.7)

При доверительный коэффициент определяется для композиции m равновероятных законов распределения, для которой (при равных ,)

. (3.8)

При композиция дает трапециидальное (а при равенстве дисперсий — треугольное) распределение (для ); при - параболическое распределение (для ) и т. д.

Значения коэффициентов для композиции равномерных законов распределения приведены в табл.3.2.

Таблица 3.2

Значения для композиции m равномерных законов распределения

РД	0,9	0,95	0,99	0,9973
m=2	1,675	1,901	2,204	2,332
m=3	1,661	1,937	2,379	2,598
m=4	1,658	1,94	2,445	2,73
m= (нормальный)	1,64	1,96	2,58	3

Если неизвестные законы распределения заданы границами то при

. (3.9)

Зависимость коэффициента от числа слагаемых т и соотношения между погрешностями , для , приведена на рис. 3.1.

Рисунок 3.1 - Зависимость коэффициента от числа слагаемых т и соотношения между погрешностями с

Как видно из рис. 3.1, максимальное значение достигается при и равно , где рассчитывается по формуле (3.8) (табл. 3.2).

При известных законах распределения случайной погрешности, как уже было сказано выше, необходимо осуществить построение композиции законов распределения.

Для нахождения композиции двух известных законов распределения можно воспользоваться уравнением свертки

, (3.10)

где - переменная интегрирования, имеющая размерность погрешности.

Однако найти решение (3.10) в аналитическом виде можно далеко не всегда. Кроме того, на практике могут быть известны не законы распределения составляющих случайных погрешностей, а их гистограммы, получаемые в результате практических исследований . В этом случае можно найти гистограмму результирующего распределения, воспользовавшись методом перебора, основанном на дискретном представлении выражения (3.10)

(3.11)

Здесь - ширина столбиков гистограмм; - их высота; - абсциссы середин первых столбиков гистограмм; - число столбиков гистограмм .

Расписывая это уравнение для разных значений , получаем

;

;

Таким образом, результирующая гистограмма будет содержать столбиков.

Необходимым условием осуществления метода перебора является одинаковая ширина столбиков гистограмм. В этом случае методика определения гистограммы результирующего распределения сводится к следующим операциям.

1. Гистограммы эмпирических законов распределения, заданные в табличной форме, представляются в виде верхней строки (головки) и левого столбца (боковика) таблицы 3.3.

2. В клетках таблицы, находящихся на пересечении столбца ,и строки записывается произведение высот столбиков и сумма их абсцисс .

3. Производится суммирование всех произведений , соответствующих одинаковым значениям абсцисс. Эти произведения, как видно из таблицы, находятся на одной диагонали.

4. Полученные суммы умножают на ширину столбика гистограммы и получают значение высот столбиков гистограммы композиции законов распределения, которые представляют в табличной форме аналогично первоначальным гистограммам.

Нахождение композиции законов распределения производится по указанной методике последовательно раз.

Если законы распределения заданы аналитически, то высоты столбиков гистограммы определяются по формуле

(3.12)

Таблица 3.3

Таблица для построения гистограммы композиции двух законов распределений

p2()	p1(x)
	p11	p12	p13
p21	p11*p21	p12*p21	p13*p21
p22	p11*p22	p12*p22	p13*p22

Для законов распределения, график которых составлен из отрезков линий (трапециидальный, треугольный, равномерный), высоты столбиков гистограммы можно определять как значения дифференциальной функции распределения в точках соответствующих серединам интервалов гистограммы. Однако, для законов распределения с нелинейным изменением плотности вероятности на интервале (например — арксинусное) необходимо прибегать к формуле (3.12), т. к. в противном случае это приведет к существенным погрешностям. Графически результат композиции равномерных законов распределения выглядит так, как это показано на рис. 3.2.

Оценки математического ожидания и дисперсии результирующего закона распределения можно найти по формулам

; (3.13)