Оддий дифференциал тенгламалар учун Коши масаласини ечишнинг сонли методлари. Кўп қадамли айирмали методлар.

1) Методлар тавсифи.

(1)

Коши масаласини ечиш учун доимий қадамли

тўрни аниқлаймиз.

орқали тўрда аниқланган функцияларни белгилаймиз.

Чизиқли m- қадамли айирмали метод деб,

(2)

айирмали тенгламалар системасига айтилади.

(2) - тенгламани янги қийматни олдин аниқланган қийматлар орқали ифодаланган реккурент муносабат сифатида қараш керак.

£исоблаш i=m , яъни

тенгламадан бошланади.

Бундан кўринадики, ҳисоблашни бошлаш учун m- та бошлангич қийматларни бериш лозим. яъни Коши масаласидан аниқланади. қийматлар берилган деб фараз қиламиз. (2) - тенгламадан кўриниб турибдики, кўп қадамли айирмали методларда Рунге-Кутт методларидан ўнг томони фақат тўрнинг нуқталарида ҳисобланиши билан фарқ қилади.

(2) - метод бўлганда ошкор деб айтилади. Бунда дастлабки қийматлар орқали ошкор ифодаланади. бўлган метод ошкормас деб айтилади. Бундай ҳолда ни топиш учун

,

бунда

чизиқсиз тенгламани ечиш керак.

Одатда бу тенгламани Ньютон методи ёрдамида ечадилар. Бунда бошланғич яқинлашиш сифатида қиймат олинади. (2) - тенгламанинг коэффициентлари умумий кўпайтувчи билан фарқ қилади. Бу эркинликдан қутилиш учун

(3)

деб талаб қиламиз. Бу (2) - айирмали схеманинг ўнг томони (1) - дифференциал тенгламанинг ўнг томонини аппоксимациялайди демакдир.

£исоблаш амалётида (2) - методнинг хусусий ҳоли бўлган Адамс методи кўп тарқалган. Бунда u'(t) ҳосила иккита ва нуқталар орқали аппроксимация қилинади, яъни

шундай қилиб Адамс методи

(4)

кўринишда бўлади. бўлганда Адамс методи ошкор, акс ҳолда ошкормас деб айтилади. (2) - айирмали схемаларни ўрганишда энг аввал коэффициентларнинг аппроксимация хатолигига таъсирини текширамиз, ундан сўнг бир бирига боғлик бўлган тўрғунлик ва яқинлашиши масалаларини тадқиқ этамиз.

2) Кўп қадамли айирмали методларнинг аппроксимация хатолиги.

(2) - айирмали схеманинг аппроксимация хатолиги ёки боғланишсизлиги деб,

(5)

функцияга айтилади. Бу (2) - тенгламага (1) - тенгламанинг аниқ ечими u(t) ни қуйганда ҳосил бўлади. Аппроксимация хатолиги тартибининг коэффициентларни танлашга боғлиқлиги масасасини ўрганамиз.

Бунда барча функциялар керакли тартибли ҳосилага эга деб ҳисоблаймиз. функцияларни нуқталар атрофида Тейлор қаторига ёйиб

муносабатларни ҳосил қиламиз.

Бу ёйилмаларни (5) - га қуйиб,

Оддий шакл ўзгартирилганидан сўнг

(6) ёйилмага келамиз. Бундан кўринадики , агар

(7)

(8)

шартлар бажарилса, аппроксимация тартиби p-га тенг бўлади.

(7) ва (8) - шартлар (3) - билан биргаликда 2(m+1) та номаълумларга нисбатан p+2 та тенгламадан иборат, чизиқли алгебраик тенгламалар системасини ташқил этади. Агар (3) - шартни инобатга олсак

тенгламага эга бўламиз.

(9)

системани ҳосил қиламиз.

Бу система 2m номаълумли p-та тенгламадан ибрат, a₀,b₀ коэффициентлар

(10)

формулалар орқали ҳисобланади. (9) система ечимга эга бўлиши учун бўлиши керак. Бу аппроксимация тартиби олиб келади. Шундай қилиб кўп қадамли айирмали методнинг хатолик тартиби p-нинг энг юкориси 2m га тенг. (4) - Адамс методлари учун p-тартибли (9)- аппроксимация шартлари

Бундан кўриниб тўрибдики Адамснинг ошкор методларининг энг юқори аппроксимация тартиби m-га тенг. Ошкормас методларнинг энг юкори аппроксимация тартиби m+1 га тенг.