3. Рунге - Кутт методлари.

Методларнинг тавсифи.

(1)

Коши масаласини қараймиз.

Рунге-Куттнинг m-босқичли ошкор методи қуйидагидан иборат. y_i=y(t_i) қиймат бўлсин. a_i,b_ij , i=2,3,...,m , j=1,2,...,m-1 , i=1,2,...,m коэфициентлар берилади ва

функциялар кетма-кет ҳисобланадилар.

Ундан сўнг

(2)

формуладан y_i+1 = y(t_i+1) топилади. a_i,b_ij, коэффициентлар аниқлик шартларидан топиладилар. Масалан, (2) - дастлабки (1) - тенгламани аппроксимация қилиши учун бўлиши зарур. Баъзи бир методларга алоҳида тўхталамиз. m=1 бўлса 1- мисолда қаралган Эйлер схемаси ҳосил бўлади.

m=2 бўлганда

(3)

методлар мажмуасини ҳосил қиламиз. (3) - методлар аппроксимация параметрларини тадқиқ этамиз.

Охирги тенгликлардан k₁ ва k₂ - ларни f орқали ифодасини алмаштириб

(4)

тенгликка эга бўламиз.

Аппроксимация хатолиги таърифига кўра (3) - методнинг аппроксимацияси (4)-дан y_i -ни u_i – аниқ ечими билан алмаштиришдан ҳосил бўлган

(5)

ифодага айтилади.

u(t) ва f(t,y) функцияларни етарлича силлиқ деб қараб аппроксимация тартибини аниқлаймиз. Бунинг учун (5) - даги барча қийматларни Тейлор формуласи буйича t_i - нуқтада ёйиб чиқамиз.

Қуйидагиларга эга бўламиз.

(1) - га асосан

шунинг учун

Бундан кўриниб турибдики, агар қилиб олинса, аппроксимация тартиби бирга тенг бўлади. Агар бунга қўшимча равишда талаб қилсак, аппроксимация тартиби иккига тенг бўлади. Шундай қилиб , икки босқичли аппроксимация тартиби иккига тенг бўлган бир параметрли Рунге-Кутт методи борлиги аниқланди.

Бу методлар оиласини қуйидагича ёзиш мумкин.

_, (7)

Бунда

Хусусий холда, бўлганда 3-мисол келиб чиқади. бўлганда иккинчи тартибли

метод ҳосил бўлади.

Учинчи тартибли икки босқичли метод мавжуд эмас. Бунга ишонч ҳосил қилиш учун u'=u тенгламани қараш кифоя.

Аппроксимация тартиби юқори бўлган Рунге-Кутт методлари мисоллари бор.

Учинчи тартибли метод:

Учинчи тартибли метод:

Тўртинчи тартибли метод

Тўртинчи тартибли Рунге - Кутт методлардан иккинчиси:

Келтирилган методлар Рунге - Кутт методларининг хусусий ҳолларидир.

Рунге - Кутт методларининг яқинлашиши.

Рунге - Кутт методлари яқинлашиши тартиби аппроксимация тартиби билан бир хиллигини кўрамиз. z_i = y_i - u(t_i) хатоликни қаноатлантирадиган тенгламани ёзамиз. Рунге - Кутт методининг тенгламаси

(8)

бунда

(9)

(8) - тенгламанинг чап томонига y_i – нинг u_i+z_i ифодасини қуйиб ўнг томонга

йиғиндини қўшиб айирамиз.

Бу ерда

(10)

Унда (8) - тенглама

, (11)

бунда

, (12)

кўринишда ёзилади.

Таърифга кўра (1) –тенглама ечими u-даги аппроксимация хатолиги бўлиб,

(13)

(11) - тенгламани методнинг хатолик тенгламаси сифатида қараймиз. У, i=0,1,..., учун бажарилади. , чунки аниқ берилади. (1) - тенглама чегараланган вақт оралиғида ечилади деб фараз қиламиз, шу сабабли ихтиерий i ва учун бажарилади.

Фараз қиламиз, f(t,u) қаралаётган соҳада u буйича L константали Липшиц шартини қаноатлантирсин. Шу фараз билан аввал ни, ундан сўнг z_i - ни баҳолаймиз. (9) ва (10) - ифодалардан ва фараздан

.

(14)

белгилашдан сўнг олдинги тенгсизликка асосан

ёки

(15)

1 - лемма

(15) - тенгсизликдан бўлганда

(16)

тенгсизлик ҳосил бўлади,

бунда

.

Исбот.

i = 1 даги (16) – баҳо i = 0 даги (15) – баҳо билан бир хилдир. Фараз қиламиз (16) - тенгсизлик i=1,2,...,k учун бажарилган бўлсин. Унинг i=k+1 учун ўринли эканлигини кўрсатамиз.

(15) дан i=k учун

тенгсизликка эгамиз. Индукциянинг фаразига кўра

бундан

Шуни исбот қилиш талаб қилинган эди.

Энди функцияни баҳолаймиз. (14) ва (16) дан

бунда

. 17)

Шундай қилиб | z_i | хатоликнинг ўсиши билан катталик хатоликнинг биринчи даражасидан тез ўсмаслиги маълум бўлди. Энди хатоликни баҳолаймиз. (11) - тенгламадан

тенгликка эгамиз. Бундан (17) - ни инобатга олиб

(18)

бунда

. (19)

эканлиги кўриниб турибди. Агар бўлса, унда яъни нинг буйича текис чегараланганлиги кўриниб турибди. сифатида қўпол равишда T ни олиш мумкин.

(18) - тенгсизликдан

(20)

келиб чиқади. Буни индукция методи билан кўрсатиш мумкин. (20) – баҳони қўполроқ баҳолаб эканлигини ҳисобга олиб

бунда , баҳони ҳосил қиламиз.

Шундай қилиб қуйидаги теоремани исбот қилдик.

Теорема. Фараз қиламиз (1) - тенгламанинг ўнг томони f(t,u) u буйича Липшиц шартини қаноатлантирсин. (12)-га мувофиқ аниқланган (2) - Рунге-Кутт методининг аппроксиация хатолиги бўлсин. Унда Рунге-Кутт методининг бўлгандаги хатолиги учун

(21)

бунда

баҳо ўринлидир.

Натижа. Агар Рунге-Кутт методи (1)- тенгламани аппроксимация қилса унда у, да яқинлашади, ундан ташкари метод хатолиги тартиби аппроксимация тартиби билан бир хил бўлади.

Исботи. (21) - дан ва - нинг текис чегараланганлигидан келиб чиқади.