1.4. Точечные и интервальные оценки.

Точечные оценки и их свойства.

В предыдущей теме мы рассматривали выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение, как приближенные значения соответствующих генеральных характеристик.

Выборочная характеристика, используемая в качестве приближенного значения неизвестной генеральной характеристики, называется ее точечной статистической оценкой.

«Точечная»- означает, что оценка представляет собой точку на числовой оси.

«Статистическая»- что оценка рассчитывается по результатам статистических наблюдений.

Обозначим через некоторую генеральную характеристику. Ее приближенное числовое значение можно вычислить, используя некоторый алгоритм или формулу по результатам выборочных данных.

любого >0 lim P( I _n - I < ) =1.

n

Таким образом, чем больше объем выборки, тем оценка более состоятельна.

Оценка _n генеральной характеристики называется несмещенной, если для любого _n = f(x₁,x₂,...,x_n)

Возникает вопрос: «Как хорошо выбрано приближение?»

Так как x₁,...,x_n – случайные величины, то и точечные оценки – величины случайные. Чтобы точечную оценку можно было считать хорошим приближением, сформулируем свойства, которыми она должна обладать: состоятельности, несмещенности и эффективности.

Оценка _n генеральной характеристики называется состоятельной, если для фиксированного числа наблюдений выполняется равенство M( _n)= .

Несмещенная оценка генеральной характеристики называется эффективной, если она среди всех прочих несмещенных оценок обладает наименьшей дисперсией.

Чтобы выяснить, является ли оценка эффективной, необходимо иметь минимум, с которым можно сравнивать. Часто этот минимум хорошо известен:

Нормальный закон распределения: minM = ²/n, min =2 ⁴/n

Задача 1.3.

Пусть генеральную совокупность образуют 5 чисел: -2;-1;0; 6; 2.

Требуется:

Вычислить генеральное среднее и генеральную дисперсию;

Составить все возможные выборки с возвратом объема n=2;

Для каждой из них вычислить значение выборочной средней и выборочной дисперсии;

Установить свойства выборочных характеристик.

Решение:

Построим ряд распределения СВ:

Х	-2	-1	0	2	6
Р	1/5	1/5	1/5	1/5	1/5

МХ=1

ДХ=8

Выборка х1 х2	Р(х1х2)	=	( )2	=	= 2- ( )2
-2 -2	1/25	-2	4	4	0
-2 -1	1/25	-1,5	2,25	2,5	0,25
-2 0	1/25	-1	1	2	1
-2 2	1/25	0	0	4	4
-2 6	1/25	2	4	20	16
-1 -2	1/25	-1,5	2,25	2,5	0,25
-1 -1	1/25	-1	1	1	0
-1 0	1/25	-0,5	0,25	0,5	0,25
-1 2	1/25	0,5	0,25	2,5	2,25
-1 6	1/25	2,5	6,25	18,5	12,25
0 -2	1/25	-1	1	2	1
	1/25	-0,5	0,25	0,5	0,25
0 0	1/25	0	0	0	0
0 2	1/25	1	1	2	1
0 6	1/25	3	9	18	9
2 -2	1/25	0	0	4	4
0 -1	1/25	0,5	0,25	2,5	2,25
2 0	1/25	1	1	2	1
2 2	1/25	2	4	4	0
2 6	1/25	4	16	20	4
6 -2	1/25	2	4	20	16
6 -1	1/25	2,5	6,25	18,5	12,25
6 0	1/25	3	9	18	9
6 2	1/25	4	16	20	4
6 6	1/25	6	36	36	0

Построим ряд распределения выборочной средней:

	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	2	2,5	3	4	6
Р	1/25	2/25	3/25	2/25	3/25	2/25	2/25	3/25	2/25	2/25	2/25	1/25

М = 1,так как генеральная средняя МХ=1,то значит - несмещенная оценка математического ожидания.

Построить ряд распределения выборочной дисперсии:

D	0	0.25	2.25	1	4	12.25	9	16
Р	5/25	4/25	2/25	4/25	4/25	2/25	2/25	2/25

М( D ) = 4, а генеральная дисперсия DХ = 8 , то значит D - смещенная оценка дисперсии.

Доказано, что выборочное среднее является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания генеральной совокупности, а выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии. Иными словами , выборочная дисперсия оценивает генеральную дисперсию с недостатком, поэтому в качестве оценки генеральной дисперсии удобнее брать исправленную дисперсию:

S² =

Исправленная дисперсия является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии случайной величины Х.

Интервальные оценки числовой характеристики случайной величины.

После получения точечной оценки желательно иметь данные о надёжности такой оценки. Особенно важно иметь сведения о точности оценок для небольших выборок (поскольку с возрастанием объёма выборки состоятельность и несмещенность основных оценок гарантируется утверждениями математической статистики). Поэтому точечная оценка может быть дополнена интервальной оценкой – интервалом ( ; ), где = - , = + , внутри которого с наперед заданной вероятностью находится точное значение оцениваемого параметра .Задачу определения такого интервала называют интервальным оцениванием, а сам интервал – доверительным интервалом. При этом называют доверительной вероятностью, с которой оцениваемый параметр попадает в интервал ( ; ).

Зачастую для определения доверительного интервала заранее выбирают число < , называемое уровнем значимости, и находят два числа и такие, что Р( < < ) = 1- .

В этом случае говорят, что интервал ( ; ) накрывает неизвестный параметр с вероятностью (1- ). Границы интервала называются доверительными.

Выбор определяется конкретными условиями. Обычно используется , что соответствует 90, 95, 99%-м доверительным интервалам.

Общая схема построения доверительного интервала:

1. По сделанной выборке находится точечная оценка неизвестного параметра .

2. Задаются надёжностью .

3. По определённым правилам находят такое число >0 (ошибка выборки), чтобы выполнялось соотношение Р ( ₁< < ) = .

Поскольку выборочная совокупность представляет собой лишь часть генеральной совокупности, то выборочные характеристики не будут точно совпадать с генеральными.

Формулы расчета ошибки выборки случайного отбора

	Выборка с повтором	Бесповторная выборка
Для средней		U
Для доли	U	U

где - выборочная дисперсия; - доля значения признака; n –объём выборки;N –объём генеральной совокупности;

Если объём выборки более 30 , то U находят по функции Лапласа, а если не более 30 – то по распределению Стьюдента (см. приложения).

Задача 1.4.

С помощью случайного повторного отбора руководство фирмы провело выборочное обследование 900 своих служащих. Средний стаж работы в фирмы- 8,7 года, среднее квадратическое отклонение- 2,7 года. Среди обследованных оказалось 270 женщин. Считая стаж работы распределенным по нормальному закону определить:

а) С вероятностью 0,95 доверительный интервал, в котором окажется средний стаж работы всех служащих в фирме;

б) С вероятностью 0,9 доверительный интервал, накрывающий неизвестную долю женщин в коллективе.

Решение:

а) N=900 > 30; = 8,7; =2,7; .

U = 1,64; ;

Доверительный интервал среднего стажа работы ( 8,7 – 0,1476; 8,7 + 0,1476) или ( 8,5524; 8,8476).

б) N = 900; n = 270 ; ;

U =1.28; 0.0196;

Доверительный интервал доли женщин в коллективе (0,3-0,0196;0,3+0,0196) или (0,2904;0,3196).

Задача 1.5.

Владелец автостоянки опасается обмана со стороны своих служащих.В течение года (365 дней) им проведено 40 проверок. По данным проверок в среднем число автомобилей на стоянке составило 400 единиц, а среднеквадратическое отклонение 10 единиц. Считая отбор случайным, с вероятностью 0,99 оценить с помощью доверительного интервала истинное среднее число автомобилей, оставленных на стоянке. Обоснованы ли опасения владельца стоянки, если по отчетности охранников число автомобилей, оставленных под охрану в среднем составляет 395 единиц.

Решение:

Произведена выборка без повторения, так как нет смысла в течение одних суток делать повторную выборку.

n=40<30; N=365; =400;

U = 2.32; =4.058;

Доверительный интервал среднего числа автомобилей оставленных на стоянке (395,942;404,058).

Так как данные отчетности охранников ( 395 единиц ) не входят в данный интервал, то с уверенностью 99% можно ожидать, что работники автостоянки обманывают владельца.

Задача 1.6.

Служба контроля Энергосбыта провела выборочную проверку расхода электроэнергии жителями одного из многоквартирных домов. Было выбрано 10 квартир (таблица случайных чисел) и определен расход электроэнергии в течении одного из летних месяцев (кВт.ч.):

125;78;102;140;90;45;50;125;115;112.

Свероятностью0,95 определить доверительный интервал для оценки среднего расхода электроэнергии на одну квартиру в доме, при условии, что в доме 70 квартир. Отбор бесповторный.

Решение:

n=10>30; = ; S²= = 1033.

, k= n-1= 9, = 2,26; = 2,26* =21.27.

Доверительный 95%-ный интервал среднего расхода электроэнергии ( 76,93; 119,47).

Упражнения и задачи.

1. Приведена статистика по годовым темпам (%) инфляции в стране за последние 10 лет:

2.8; 3,2; 5,1; 1,8; -0,6; 0,7; 2,1; 2,7; 4,1; 3,5.

Найти несмещенные оценки среднего темпа инфляции, дисперсии и среднего квадратического отклонения .

2. На основании наблюдений за работой 25 кандидатов на должность секретаря-референта установлено, что в среднем они тратили 7 минут на набор одной страницы сложного текста на компьютере при выборочном стандартном отклонении 2 минуты. Определите 95%-ный доверительный интервал для среднего времени набора.