3. Наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке

Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений. Функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, т.е. достигается в критических точках.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [а, b] следующая: 1. Найти производную функции . 2. Найти все критические точки функции в интервале (а, b), т.е. точки, в которых или не существует. 3. Вычислить значения функции в критических точках интервала (а, b) и на концах отрезка при х = а, х = b. Выбрать из них наибольшее и наименьшее значение функции.

Например, найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке . Имеем:

1. .

2. , .

3. , , . . Итак,

4. Выпуклость функции. Точка перегиба

Рассмотрим график функции . Эта функция возрастает на всей числовой оси и не имеет экстремумов.

В точке график этой функции как бы перегибается, по разные стороны от этой точки график функции имеет различия. Если , то график функции расположен ниже касательных и имеет выпуклость вверх, а если , то график расположен выше касательных и имеет выпуклость вниз.

Функция называется выпуклой вниз на промежутке , если для любых значений выполняется неравенство

.

Функция называется выпуклой вверх на промежутке , если для любых значений выполняется неравенство

.

Функцию, выпуклую вверх, называют часто просто выпуклой, а выпуклую вниз называют вогнутой.

Если функция выпукла вниз, то отрезок, соединяющий любые две точки графика функции, целиком лежит над графиком, если выпукла вверх, то весь такой отрезок целиком лежит под графиком функции. Приведем без доказательства следующие теоремы.

Теорема 1. Функция выпукла вверх (вниз) на промежутке X тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Теорема 2. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Первая теорема выражает необходимое, вторая достаточное условие выпуклости функции.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх. Точки перегиба понимают еще как точки экстремума первой производной. Имеют место теоремы.

Теорема 3. Необходимое условие для точки перегиба. Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю, т.е. .

Теорема 4. Достаточное условие для точки перегиба. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то есть точка перегиба ее графика.

В точке перегиба касательная разделяет график, он лежит по разные стороны касательной. Например, для функции график расположен по разные стороны от касательной, совпадающей с осью абсцисс, в точке перегиба начала координат.