3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Ряд
,
в котором все
,
называется положительным. Для такого
ряда последовательность частичных
сумм является неубывающей. Для того
чтобы знакоположительный ряд сходился,
необходимо и достаточно, чтобы
последовательность его частичных сумм
была ограничена сверху. Рассмотрим
следующие достаточные признаки сходимости
положительных рядов.
1. Признак сравнения. Пусть даны два ряда
с неотрицательными членами
и
и для всех
выполняется неравенство
.
Тогда из сходимости ряда
следует сходимость ряда
,
а из расходимости ряда
следует расходимость ряда
.
Например, исследовать сходимость ряда
,
для этого ряда необходимый признак
сходимости выполняется. Сравним данный
ряд с рядом, полученным из членов
геометрической прогрессии с первым
членом
и знаменателем
:
,
который будет сходиться.
Так как члены данного ряда, начиная со второго, меньше членов взятого сходящегося ряда
,
,
то на основании признака сравнения ряд сходится.
2. Признак Даламбера. Пусть дан ряд
с положительными членами и существует
предел отношения
-го
члена к n-му члену
.
Тогда: 1) при k<1 ряд
сходится; 2) при k>1
ряд расходится. При k=1 ряд
может как сходиться, так и расходиться.
В этом случае необходимо дополнительное
исследование ряда с помощью признака
сравнения или других достаточных
признаков.
Например, исследовать сходимость ряда
,
где
.
Проверим необходимое условие
.
Найдем
Применяя признак Даламбера, получаем, что:
.
Так как k<1, то ряд сходится.
3. Интегральный признак. Пусть дан ряд
,
члены этого ряда есть значения некоторой
функции f(x),
положительной, непрерывной и убывающей
на полуинтервале
.
Тогда, если
сходится, то сходится и ряд
,
если же
расходится, то ряд
расходится.
С помощью этого признака можно показать,
что обобщенный гармонический ряд
сходится при значениях
и расходится при значениях
.
Лекция 15. Знакопеременные и степенные ряды
1. Знакопеременные числовые ряды
Ряд называется знакопеременным, если он имеет бесконечное число как положительных, так и отрицательных слагаемых. Возьмем какой-нибудь знакопеременный ряд
,
где числа
могут быть как положительными, так и
отрицательными, причем их расположение
в ряде произвольно. Рассмотрим ряд,
составленный из абсолютных величин
членов знакопеременного ряда:
.
Такой ряд называется абсолютным.
Если этот ряд сходится, то сходится и знакопеременный ряд. Знакопеременный ряд в этом случае называется абсолютно сходящимся.
Если знакопеременный ряд сходится, а абсолютный ряд расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся.
Следующие теоремы отражают важные свойства абсолютной и условной сходимости знакопеременных рядов.
Теорема 1. Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся, имеет одну и ту же сумму при любой перестановке его членов.
Теорема 2. Если ряд сходится условно, то какое бы ни взять наперед заданное число , можно так переставить члены этого ряда, чтобы сумма получившегося после перестановки ряда оказалась равной . Можно переставить члены условно сходящегося ряда так, чтобы ряд, полученный после перестановки членов, оказался расходящимся.
Итак, абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы: их можно складывать, переставлять местами члены ряда. Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. Например, рассмотрим ряд
.
Переставим члены местами и сгруппируем их следующим образом:
.
После вычитания первых разностей в скобках имеем:
.
В скобках получили исходный ряд. Скобка
умножается на
,
то есть сумма ряда уменьшается в 2 раза.