2. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.

Основой этого правила является следующая теорема Коши. Если функции , непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале причем , то на интервале найдется хотя бы одна такая точка , такая, что

.

Правило Лопиталя следующее. Предел отношения двух дифференцируемых функции и в случае неопределенности вида или равен пределу отношения их производных, если последний существует, то есть

, .

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида или то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.

Рассмотрим примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя.

1.

2. .

3.

=

Приведем пример, когда предел нельзя вычислить, используя, привило Лопиталя

Для вычисления предела нужно числитель и знаменатель дроби разделить на переменную

3. Формула Тейлора.

Если функция имеет в точке и в некоторой ее окрестности производные до порядка включительно, то есть , то для любой точки этой окрестности между точками и найдется точка такая, что имеет место следующая формула Тейлора

Последнее слагаемое называется остаточным членом формулы Тейлора. Здесь .

По этой формуле любую дифференцируемую необходимое количество раз функцию можно с большой точностью заменить целой рациональной функцией – многочленом Тейлора.

Если в формуле Тейлора , то из нее получаем формулу Маклорена

Для функций , , имеем соответственно разложение по формуле Маклорена:

,

,

.

Используя эти формулы, можем вычислить значения этих функций для данного значения с необходимой точностью.

Например, при x=1, ограничиваясь n=8, получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа :

.

Лекция 6. Исследование функции с помощью производной.

1. Признак монотонности функции

Функция , определенная на некотором промежутке, называется возрастающей на этом промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е. если , то .

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если меньшему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е. если , то .

Например, функция убывает, если , и возрастает, если . Функция, только возрастающая или только убывающая на промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

Достаточное условие возрастания функции выражает следующая теорема: если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка, то она возрастает на этом промежутке.

В самом деле, пусть и . Докажем, что . Для функции на отрезке выполняется условие теоремы Лагранжа, поэтому , где . Так как , то и , также , поэтому , т.е. .

Достаточное условие убывания функции выражает теорема: если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка, то она убывает на этом промежутке.

Отметим, что необходимое условие возрастания или убывания функции лишь утверждает, что производная неотрицательная или неположительная.

Если функция возрастает на некотором промежутке, то геометрически это означает, что касательные к графику на этом промежутке образуют острые углы с осью абсцисс, а если убывает, то тупые.

Таким образом, возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти, на каком промежутке функция возрастает или убывает, нужно определить, где производная этой функции только положительна или только отрицательна, т.е. решить неравенства – для возрастания или – для убывания. Например, найти промежутки монотонности функции . Имеем , , если , то есть и , если . Итак, функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке .