4. Нахождение пределов функции. Замечательные пределы

Следующие теоремы обеспечивают нахождение пределов функций. Пусть пределы и существуют. Тогда:

1. ;

2 ;

3. (при ).

Также используются следствия:

1. ;

2. .

Вычисление пределов следует начинать с подстановки вместо его предельного значения в выражение для функции , стоящей под знаком предела. При этом может получиться, что выражение не имеет смысла. Например, получается одно из выражений вида . Но это не означает, что функция не имеет предела, говорят, что имеет место неопределенность.

Для раскрытия неопределенности над функцией проводят преобразования. Также используют первый замечательный предел , и второй замечательный предел .

Рассмотрим примеры нахождения пределов функций.

1. .

2. .

3.

4. .

5.

5. Непрерывность и точки разрыва функции

Представление о непрерывности функции интуитивно связано у нас с тем, что её графиком является плавная, нигде не прерывающаяся линия. Строгое определение непрерывности функции в точке следующее.

Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет трем условиям: 1. Функция определена в точке и в некоторой её окрестности, то есть существует ; 2. Имеет конечный предел при , то есть ; 3. Этот предел равен значению функции в точке , то есть .

Например, все три условия для функции в точке выполнены, и она является непрерывной в этой точке. Для функции в точке первое условие не выполнено и она не является непрерывной в этой точке. Функция не имеет общего предела в точке , то есть не выполняется второе условие и непрерывность нарушается в этой точке. Для функции не выполняется третье условие в точке , и она не является непрерывной в этой точке.

Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если существуют пределы и , то точка называется точкой разрыва первого рода. В случае, когда , – точка устранимого разрыва. Если один из этих пределов не существует или равен , то точка называется точкой разрыва второго рода. Например, величина налоговой ставки от дохода имеет график.

На концах промежутков эта функция имеет точки разрыва, причем они являются точками разрыва первого рода.

Отметим некоторые свойства функций непрерывных на отрезке. Функция, непрерывная на отрезке, хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке. Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка найдется, по крайней мере, одна точка, в которой функция обращается в ноль.

Лекция № 4.

Тема лекции. Производная и дифференциал функции.

Вопросы лекции.

1. Определение производной функции.

2. Правила нахождения производных. Таблица производных.

3. Дифференциал функции.

1. Определение производной функции.

Производная функции используется для решения многих задач, в особенности при изучении скорости разных процессов, в том числе и экономических.

Пусть имеем некоторую функцию , определенную на некотором промежутке. Рассмотрим два значения аргумента: исходное и новое . Разность называется приращением аргумента в точке . Отсюда получаем, то - есть первоначальное значение переменной получило некоторое приращение. Тогда, если в точке значение функции было , то в новой точке функция будет принимать значение . Разность называется приращением функции в точке и обозначается символом .

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента в этой точке, когда приращение аргумента стремится к нулю

Функция , имеющая производную в каждой интервала, называется дифференцируемой в этом интервале. Операция нахождения производной от данной функции называется дифференцированием этой функции. В результате дифференцирования получается некоторая функция, обозначаемая . Также производная функции обозначается . Конкретное значение производной функции в точке обозначаются .

Для функции найдем ее производную по определению и значение производной этой функции в точке . Аргументу даем приращение . Находим приращение функции . Определяем отношение . Находим предел этого отношения, когда : . Итак . Значение производной функции в точке равно .

Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной от данной функции и обозначается или . Итак . Аналогично определяется производная любого порядка.

Пусть функция , описывает какой – либо физический процесс, тогда производная есть скорость изменения этого процесса, а вторая производная – ускорение. В этом состоит физический смысл производной.

В экономических исследованиях для обозначения производных часто пользуются специальной терминологией. Например, если есть производственная функция, выражающая зависимость выпуска какой-либо продукции от затрат фактора , то называют предельным продуктом; если есть функция издержек, то есть выражает зависимость общих затрат от объема продукции , то называют предельными издержками.

Пусть = - количество произведенной продукции за время t. Тогда P есть производительность труда P в момент времени , а есть скорость изменения производительности труда в момент времени .

Во многих задачах часто требуется вычислять процент прироста зависимой переменной, соответствующий проценту прироста независимой переменной. Это приводит к понятию эластичности функции. Эластичность E функции вычисляют по формуле . Эластичность функции показывает, на какое количество процентов изменится значение функция при изменении аргумента на 1 %.

Уравнение касательной к графику функции в точке касания имеет вид . Таким образом, геометрически представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке , в этом состоит геометрический смысл производной.

Отмети также, что если функция дифференцируема в некоторой точке , то она в этой точке непрерывна. Обратное утверждение не верно, так функция непрерывна в точке , но не дифференцируема в ней.