2. Предел функции

Для функции выясним, к какому числу приближается значение этой функции, когда значение переменной приближается к числу . Для слева соответственно имеем значения : , если справа , то значения : .

Видим, что значения функции приближается к . Символически это записывают так , и читается предел функции , когда стремится к трем, равен шести. В общем случае пишут .

В этом примере имеем две последовательности: для одной значения , а для другой значения функции . Использую окрестности точек и определение предела функции можно сформулировать так.

Число называется пределом функции при , если для любого сколь угодно малого найдется такое , что при .

Отмети, что в определении предела функции не требуется, чтобы функция была определена в предельной точке, но она должна быть определена в какой либо окрестности предельной точки, в которую сама предельная точка может не входить.

Предел функции должен обладать теми же свойствами, что и предел числовой последовательности, а именно и если при функция имеет предел, то он единственный.

Если и , то пишут или , если и , то или . Соответствующие пределы называются левосторонними и правосторонними пределами функции в точке . Здесь предполагается, что функция определена на некотором промежутке слева от предельной точки или справа.

Число называется пределом функции при , если для любого сколь угодно малого найдется такое положительной число (зависящее от ), что для всех таких, что , верно неравенство . Обозначается .

С помощью логических символов определения пределов функции можно записать так

( ) ( ) ( ), ( ) ),

( ) ( ) ( ), ( ) ).

3.. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция называется бесконечно малой (б. м.) при или при , если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Функция называется бесконечно большой (б. б.) при или при , если или , т.е. бесконечно большая функция – это функция, предел которой в данной точке равен бесконечности.

Так функция является б. б. при , и является б. м. при .

Бесконечно малые (большие) функции часто называют бесконечно малыми (большими) величинами.

Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами:

1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.

3. Если и бесконечно малые функции, то их произведение является бесконечно малой функцией.

4. Если функция - бесконечно малая и не обращается в нуль, то является бесконечно большой функцией, если функция - бесконечно большая и не обращается в нуль, то является бесконечно малой функцией.

Связь между функцией ее пределом и бесконечно малой функцией следующая. Если функция имеет предел равный , то ее можно представить как сумму числа и бесконечно малой функции , то есть если , то .

Пусть и бесконечно малые функции и . Тогда если: 1) то функции называются эквивалентными, 2) то функции и бесконечно малые одного порядка, 3) то функция называется бесконечно малой высшего порядка относительно функции , 4) то функция называется бесконечно малой функцией высшего порядка относительно функции .