Лекция 3. Предел и непрерывность функции.
1 Функциональная зависимость. Основные элементарные функции
Понятие функции связано с установлением
зависимости между элементами двух
множеств Х и У. Соответствие
(правило), которое каждому элементы
Х
сопоставляет один и только один элемент
У,
называется функцией и обозначается
или
:
X
Y.
Множество Х называется областью
определения функции
и обозначается
.
Множество
называется областью значений функции
и обозначается Е(
).
В экономике рассматриваются числовые функции, у которых и область определения и область значений являются числовыми множествами. Например, функция спроса – зависимость спроса на товар от его цены, однофакторная производственная функция – зависимость объема выпускаемой продукции от объема ресурса и другие.
Переменная
называется аргументом или независимой
переменной, а
– зависимой переменной. Частное значение
функции
для значения
записывается так:
или
.
Графиком функции
называется множество всех точек плоскости
с координатами
;
.
Функции можно задать различными
способами: аналитически, таблицей,
графически, путем перечисления пар и
т.д. Например, функция
задана аналитически, ее область
определения:
,
область значений: у
0.
Эта функция задается графиком:
Функция
называется четной, если для всех
допустимых
и
;
нечетной, если
.
График четной функции симметричен
относительно оси
,
а нечетной – относительно начала
координат.
Если для любых значений
и
отрезка [a,b],
которые допустимы из неравенства
,
следует неравенство
,
то функция называется возрастающей на
этом отрезке;
–
убывающей на отрезке [a,b];
,
то не возрастающей на [a,b].
Функции с указанными свойствами называют
еще монотонными; для знаков <,> строго
монотонными.
Функция
называется ограниченной, если существует
такое число М>0, что для всех
из области определения (или на отрезке)
M.
Функция
называется периодической, если для всех
допустимых
существует такое число
,
что
.
При этом
также принадлежит области определения.
Число
называется периодом функции. Периодическими
являются функции
,
,
,
.
Если задана функция
с областью определения
и множеством значений Е, то может
оказаться, что каждому значению
Е
соответствует единственное значение
,
т.е. определена функция
.
Такая функция
(у)
называется обратной к функции
и обозначается
.
Из определения следует, что строго
монотонная функция имеет обратную
функцию. При этом, если функция возрастает
(убывает), то обратная функция также
возрастает (убывает). Графики взаимно
обратных функций
и
симметричны относительно биссектрисы
первого и третьего координатных углов.
Пусть функция
определена на множестве
,
а функция
=
(x)
на множестве
.
Тогда на множестве
определена функция
(
(x)),
которая называется сложной функцией
от х. Переменную u=
(x)
называют промежуточным аргументом
сложной функции. Таких промежуточных
аргументов может быть несколько.
Например,
=sin2(2x+1).
Элементарными функциями называются
функции, заданные одной формулой,
составленной из основных элементарных
функций и постоянных (чисел) с помощью
конечного числа арифметических операций
+, -,
,:
и операции взятия функции от функции.
Основными элементарными функциями называются следующие функции:
1. Показательная функция
,
,
.
2. Степенная функция
,
где
.
3. Логарифмическая функция
,
4. Тригонометрические функции , , ,
5. Обратные тригонометрические функции
,
,
,
.