13.2. Нахождение частных решений неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
Частное решение линейного неоднородного уравнения зависит от вида правой части уравнения, то есть от функции .
Если
,
где
–данный многочлен степени
,
то частное решение линейного неоднородного
уравнения имеет вид:
,
где
– многочлен степени
с неизвестными коэффициентами, которые
нужно найти, а
– число корней характеристического
уравнения, равных нулю.
Если
,
то частное решение линейного неоднородного
уравнения имеет вид:
,
где
– многочлен степени
с неизвестными коэффициентами,
– кратность корня характеристического
уравнения
.
Если
,
где
,
и
– известные числа, то частное решение
линейного неоднородного уравнения
имеет вид:
,
где
,
– неизвестные коэффициенты,
– число корней характеристического
уравнения, равных iβ.
13.3. Примеры решений неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим примеры решения неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Характеристическое уравнение
имеет корни k1=0,
k2=1. Общее решение
однородного уравнения тогда имеет вид:
.
Найдем частное решение неоднородного уравнения. Так как 0 является корнем характеристического уравнения кратности т=1, то частое решение имеет вид:
.
Найдем
и
:
,
.
Теперь подставим производные в исходное уравнение, получим:
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему алгебраических уравнений:
Решая систему, находим, что
,
.
Итак,
.
Тогда общее решение неоднородного
уравнения примет вид:
.
Пример 2. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: , которое имеет корни k1=2, k2=3. Следовательно, общее решение однородного уравнения примет вид:
.
Так как
=1
не является корнем характеристического
уравнения, то частное решение неоднородного
уравнения необходимо искать в виде:
.
Подставив
,
и
в исходное уравнение, получим:
;
;
;
.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений:
Откуда находим, что
,
.
Находим общее решение неоднородного уравнения:
.
Пример 3. Найти частное решение
уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
,
.
Решение. Характеристическое уравнение k2+1=0 действительных корней не имеет. Найдем и :
,
.
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
.
Найдем частное решение неоднородного уравнения. Так как 2 не является корнем характеристического уравнения, то
;
;
.
Подставим и в исходное уравнение, получим:
;
.
Из последнего равенства получим систему уравнений:
Откуда следует, что
,
.
Тогда общее решение неоднородного уравнения имеет вид:
.
Для того чтобы найти частное решение исходного уравнения, подставим начальные условия в полученное решение. Имеем:
,
.
,
,
.
Тогда получаем, что частное решение удовлетворяющее начальным условиям , , имеет вид:
.