10.2. Алгоритм нахождения экстремумов функции двух аргументов

Исследование функции двух переменных на экстремум можно проводить по следующему алгоритму:

1. Найти частные производные и .

2. Решить систему уравнений

и найти критические точки функции .

3. Найти частные производные второго порядка , , . Вычислить значения этих частных производных в критической точке, то есть , , и . Сделать вывод о наличии экстремумов. Если , то функция имеет в точке экстремум, а именно максимум при и минимум при . Если , то в точке экстремума нет.

4. Найти экстремумы функции, подставив координаты точки экстремума в выражение для функции .

Например, найти экстремум функции . Согласно указанной схеме, имеем:

, .

Найдем точки возможного экстремума. Для этого решим систему уравнений

Решениями системы являются следующие значения , . Следовательно, – точка возможного экстремума.

Затем найдем вторые частные производные и значение для выражения :

.

Так как Δ=3>0 и =2>0, то в точке данная функция имеет минимум. Вычисляем минимальное значение функции в точке . Получаем:

.

10.3. Применения теории экстремумов функции двух аргументов в экономике

Рассмотрим пример задачи нахождения экстремума функции двух аргументов, возникающих в экономике.

Пример. Фирмой производится два вида товаров в количестве и . Стоимость единицы каждого товара равна соответственно 8 и 10 (усл. ден. ед.), а функция затрат имеет вид . Определить максимальную прибыль фирмы.

Решение. Функция прибыли является функцией двух аргументов и и имеет вид:

.

Исследуем эту функцию двух аргументов на экстремум. Имеем:

и .

Решением системы уравнений

будет точка с координатами .

Найдем вторые частные производные функции прибыли и значение для выражения : , . . . Так как , а , то точка с координатами определяет локальный максимум функции прибыли. Найдем эту прибыль

(усл. ден. ед.).

Лекция 11. Дифференциальные уравнения первого порядка

11.1. Основные сведения о дифференциальных уравнениях

Дифференциальным уравнением называется всякое соотношение между независимыми переменными, функцией от них и производными этой функции по этим переменным. Исследование закономерностей экономических процессов часто приводит к построению моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких – то уравнением в частных производных. В дальнейшем будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

В общем случае такие уравнения можно записать в виде:

,

где есть функция аргумента , а – производные этой функции. К дифференциальным уравнениям, относятся уравнения, связывающие дифференциалы независимой переменной и функции от неё. Например: .

Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок производной, входящей в уравнение. Так, например, уравнения и первого порядка; уравнения и второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая при подстановке в уравнение превращает его в тождество. Например, функция , где , является решением дифференциального уравнения первого порядка , так как .

Компактная запись всех решений дифференциального уравнения называется его общим решением. Так, – общее решение уравнения . При различных значениях получаем частное решение. Например, – частное решение уравнения , когда . Общее решение дифференциального уравнения задает семейство кривых на координатной плоскости.

Часто при решении дифференциального уравнения требуется найти некоторое частное решение, удовлетворяющее каким-то дополнительным данным, которые называются начальными условиями. Начальные условия для дифференциального уравнения n-го порядка представляют собой значение функции и её производные до порядка включительно при заданном значении аргумента , ,…, . Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.