Лекция 1.3 Математическое моделирование системы управления на основе преобразования Лапласа. Структурная схема системы управления.

Для придания задаче проектирования физической осмысленности и наглядности применяют модели динамики в виде структурной схемы. Основой получения ее является переход от аргумента времени к комплексному аргументу преобразования Лапласа .

Данный переход осуществляется с помощью интегрального преобразования вида:

,

где

оригинал (функция времени)

изображение (функция комплексной переменной)

символ (сокращенное обозначение) преобразования Лапласа;

символ обратного преобразования Лапласа

Важно, что применение данного преобразования позволяет отобразить связь между переменными системы в области времени, выражаемую дифференциальным уравнением, - в алгебраическую зависимость между ними, что делает инструмент исследования динамики более гибким и удобным (алгебраические операции менее трудоемкими, чем операции в области времени).

Примечание

Основные свойства преобразования Лапласа.

1. Свойство линейности

2.Дифференцирование оригинала

при нулевых начальных условиях получаем:

3. Интегрирование оригинала при нулевых начальных условиях

4. Конечное значение оригинала

4. Преобразование свертки функций

4. Преобразование функции смещенной по времени

4. Изменение масштаба времени

4. Способ получения оригинала по изображению, представляющему дробно-рациональную функцию вида:

полином переменной « »

В результате разложения выражения на элементарные слагаемые получаем:

Для каждого слагаемого находится в таблице соответствия оригинал и производится их суммирование, например:

1

Передаточная функция

Вернемся к исходному дифференциальному уравнению.

Примем нулевые начальные условия (до момента включения система находилась в состоянии покоя) и проведем преобразование по Лапласу левой и правой части уравнения.

При нулевых начальных условиях связь между производной и ее изображением отображается теоремой дифференцирования в виде:

Применяя это выражение к уравнению, получаем:

Рассмотрим комплексную функцию, получаемую из данного уравнения при отношении изображений выходной и входной переменных:

Такая функция называется передаточной функцией (ПФ).

Если система описывается обыкновенным дифференциальным уравнением, то ПФ является дробно-рациональной алгебраической функцией комплексного аргумента "s".

Если в ПФ не проводилось сокращение одинаковых нулей (корни числителя комплексной функции)и полюсов (корни знаменателя),то данная ПФ полностью соответствует отображаемому дифференциальному уравнению и от нее всегда можно получить это уравнение. Применение ПФ позволяет получить алгебраическую связь между переменными системы

Графически такую связь можно изобразить в виде прямоугольника, внутри которого записано выражение для ПФ- на входе которого изображение по Лапласу входной переменной, а на выходе изображение по Лапласу выходной переменной.

Используя такую возможность, определим изображение импульсно-переходной функции, представляющей реакцию системы на мгновенный импульс.

Так как, изображение мгновенного импульса равно единице, то изображением импульсно-переходной функции, согласно полученной связи является передаточная функция системы:

Следовательно, весовая функция есть оригинал передаточной функции:

Получим оригинал преобразования переменной системы в общем виде. Пусть изображение входной переменной - х(s)

Используем теорему преобразования свертки (свойство преобразования) функций:

Пусть :

Получаем:

Следовательно:

Таким образом, оригинал данного преобразования в области изображений частное решение дифференциального уравнения,- то есть математическое описание вынужденного движение системы (движение вызванного воздействием при нулевых начальных условиях).

Определим изображение по Лапласу для переходной функции. Изображение ступенчатой единичной функции равно:

Тогда

Таким образом, если известна ПФ системы, то, обратное преобразование Лапласа выражения ,дает переходную функцию. Если ПФ представляет отношение полиномов, то удобно применить метод разложения, приведенный выше.

Таким образом, установлено, что между характеристиками динамики в области комплексного аргумента (ПФ) и в области времени существует взаимно однозначная связь.

Сравнивая изображение импульсно -переходной функции с изображением переходной функции, приходим к выражению

Согласно свойству преобразования Лапласа (теорема дифференцирования)

приходим к выражению