1.1.2 Связи и их реакции

Тело, некоторым перемещениям которого в пространстве препятствуют какие-нибудь другие, скрепленные или соприкасающиеся с ним тела, называется несвободным. Всякое тело, ограничивающее свободу перемещения данного твердого тела, является по отношению к нему связью.

Если на твердое тело не наложены никакие связи, то такое тело очевидно является свободным.

Если тело не может покинуть связь, то эта связь называется удерживающей. Примером может служить бусинка с отверстием, надетая на нить. Если же тело при некоторых перемещениях может покинуть связь, то такая связь называется неудерживающей. Таким, например, случаем является тело, лежащее на столе. Тело может перемещаться по столу – связь не нарушается; но можно поднять тело, сняв его со стола, – при таком перемещении связь нарушается. Следовательно, на тело, лежащее на столе, наложена неудерживающая связь. При этом не считается возможным, например, такое движение, при котором тело пробивает доску стола, осуществляющую связь, так как считается, что связи физически неразрушимые.

Сила, характеризующая действие связи на тело, называется силой реакции связи. Если считать силу, с которой тело действует на связь, действием, то сила реакции связи является противодействием и приложена к телу. Эти силы нельзя считать уравновешенными, хотя они и равны по модулю и направлены противоположно, так как точки приложения этих двух сил принадлежат различным телам.

Все силы, действующие на тело, можно разделить на две группы: силы активные и силы реакций связей. Модуль и направление каждой активной силы наперед известны и непосредственно не зависят от действия других, приложенных к данному телу сил, а также от движения этого тела и от характера наложенных на него связей. Силы же реакций связей зависят от действия приложенных к нему активных сил, а также от движения этого тела и от характера наложенных на него связей.

Силы реакций связей возникают только тогда, когда тело, на которое наложены связи, под действием активных сил оказывает давление на эти связи. Как только прекращаются эти давления на связи, перестают действовать на тело и силы реакций связей. В этом смысле силы реакций связей называются пассивными силами. (Пассивные силы не могут сами вызывать движение тела, в отличие от сил активных).

Определить силу реакции, как и любую силу, это значит определить её модуль, направление и точку приложения. Модуль каждой силы реакции связи всегда зависит от действующих на тело активных сил и является наперед неизвестным. Направление же сил реакций связей известно лишь для некоторых типов связей. Если данная связь препятствует перемещению тела только в одном каком-нибудь направлении, то направление ее реакции противоположно этому направлению. Если же данная связь препятствует перемещениям тела по многим направлениям, то направление силы реакции связи наперед неизвестно и должно (так же, как и модуль силы реакции) определяться в результате решения соответствующей задачи статики. Точка приложения силы реакции связи, как правило, бывает известна.

Аксиома связей, или принцип освобождаемости от связей. Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив их действие соответствующими силами реакций связей.

Аксиома связей дает возможность применить к несвободному телу условия равновесия, справедливые для свободного тела. Для этого следует мысленно отбросить связи, наложенные на тело, заменив их действие соответствующими силами реакций связей. Затем нужно рассмотреть равновесие этого несвободного тела как тела свободного под действием активных сил и сил реакций связей.

Направления реакций некоторых видов связей

1. Гладкая поверхность (плоскость) или опора (рисунок 1.10). Гладкой называют такую плоскость или поверхность, на которой можно пренебречь трением. Такая связь не препятствует скольжению по ней поверхности тела, а препятствует только перемещению в направлении общей нормали к поверхности тела и к связи, поэтому сила реакции направлена по этой нормали. (Любые две поверхности, контактирующие в точке, имеют общую нормаль и общую касательную плоскость, проходящие через точку контакта). Такую реакцию называют нормальной силой реакции.

Когда одна из соприкасающихся поверхностей является точкой (рис. 1.10, б), то реакция направлена по нормали к другой поверхности.

Рисунок 1.10 – Реакции гладких поверхностей или опор

2. Нить. Связь, осуществлённая в виде гибкой нерастяжимой нити (рисунок 1.11), не даёт телу М удаляться от точки подвеса нити по направлению АМ. Поэтому реакция натянутой нити направлена вдоль нити к точке её подвеса.

Рисунок 1.11 – Реакция нити

3. Цилиндрический шарнир (подшипник). Одно тело может вращаться относительно другого вокруг общей оси, называемой осью шарнира (например, как две половины ножниц). Если тело АВ прикреплено с помощью такого шарнира к неподвижной опоре D (рис. 1.12, а), то точка А тела не может при этом переместиться ни по какому направлению, перпендикулярному оси шарнира. Следовательно, реакция цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной оси шарнира, т.е. в плоскости Axy. Для силы в этом случае наперёд неизвестны ни её модуль R, ни направление (угол α). Часто реакцию заменяют её составляющими по осям x и y, как на рис.1.12, б, где шарнир А неподвижно закреплён при помощи двух стержней на шарнирах.

а) б)

Рисунок 1.12 – Реакция шарнира

4. Подвижный шарнир. Стержень, закреплённый на шарнире, может поворачиваться вокруг шарнира, а точка крепления может перемещаться вдоль направляющей. Реакция подвижного шарнира направлена перпендикулярно опорной поверхности, т.к. не допускается только перемещение поперёк опорной поверхности.

Рис. 1.13 – Реакция подвижного шарнира

5. Сферический шарнир и подпятник. Тела, соединённые сферическим шарниром, могут как угодно поворачиваться одно относительно другого вокруг центра шарнира. Пример – прикрепление фотоаппарата к штативу. Точка A тела (рис. 1.13 а), совпадающая с центром шарнира, не может совершить ни какого перемещения в пространстве. Следовательно, реакция сферического шарнира может иметь любое направление в пространстве. Для неё наперёд не известны ни её модуль R, ни углы с осями Axyz.

Произвольное направление в пространстве может иметь и реакция подпятника (подшипника с упором), изображённого на рис. 1.13 б.

Рисунок 1.13 – Сферический шарнир и подпятник

6. Невесомый стержень. Невесомым называют такой стержень, весом которого по сравнению с воспринимаемой им нагрузкой, можно пренебречь. Пусть для находящегося в равновесии тела такой стержень, прикреплённый в точках A и B шарнирами, является связью (примеры на рис. 1.14 а и б). Тогда на стержень будут действовать только две силы, приложенные в точках A и B. При равновесии эти силы должны быть направлены вдоль одной прямой, т.е. вдоль AB. Но тогда согласно закону о действии и противодействии стержень будет действовать на тело с силой, тоже направленной вдоль AB. Следовательно, реакция невесомого шарнирно прикреплённого стержня направлена вдоль прямой, соединяющей шарниры. При этом стержень может быть прямым или кривым, сжатым или растянутым.

Рисунок 1.14 – Связи в виде невесомых стержней: прямого растянутого (а) и криволинейного сжатого (б)

7. Направляющая позволяет только прямолинейное движение вдоль своей оси. Создаёт силу реакции в направлении, перпендикулярном оси, и момент реакции (в плоской системе сил). (Рис. 1.15, а.) Если одна направляющая установлена на другой направляющей, то тело может перемещаться в плоскости как угодно, но не может поворачиваться. (Рис. 1.15, б.). В такой опоре имеется реакция в виде момента.

а) б)

Рисунок 1.15 – Реакции направляющих: а) – одиночной и б) - сдвоенной

8. Жёсткая заделка (рисунок 1.16, а,б). Даже одна жёсткая заделка обеспечивает равновесие тела при любых видах нагрузок. Сила реакции заделки может иметь любое направление, поэтому обычно определяют составляющие R_x, R_y, R_z. (на рисунке 1.16, а они обозначены и ) Кроме того, жёсткая заделка препятствует повороту тела, поэтому на тело действует момент заделки . Его, как мы увидим далее, тоже можно представить как сумму моментов M_x, M_y, M_z. В случае действия плоской системы сил возникают две составляющие реакции (на рисунке 1.16, б они обозначены и ) и момент заделки в плоскости действия сил (на рисунке 1.16, б он обозначен М_з).

а) б)

Рисунок 1.16 – Реакции заделки в пространственной (а) и плоской (б) системе сил

9. Связь осуществляется посредством негладкой неподвижной поверхности (рисунок 1.17, а, б). До сих пор мы рассматривали связи, которые осуществлялись посредством абсолютно гладких поверхностей. В действительности же реальные поверхности бывают негладкими (шероховатыми). Негладкая поверхность не только препятствует перемещению, нарушающему связь, но и оказывает некоторое сопротивление перемещению по этой поверхности. Это сопротивление тоже представляет некоторую реакцию, направленную по касательной плоскости к поверхности и называемую силой трения скольжения. Сила трения скольжения направлена в сторону, противоположную той, в которую двигают или стремятся сдвинуть тело приложенные к нему активные силы. Как и всякая реакция связи, сила трения определяется теми активными силами, которые действуют на рассматриваемое тело*. Следовательно, реакция негладкой неподвижной поверхности имеет две составляющие: одну – нормальную к поверхности, осуществляющей негладкую связь, а другую – лежащую в общей касательной плоскости к поверхности тела и поверхности, осуществляющей негладкую связь. Первая составляющая – нормальная сила реакции – на рисунке 1.17 а, б обозначена через и , а в торая составляющая – сила трения скольжения – на тех же рисунках обозначена через и .

Рис. – Реакции с учётом силы трения