11. Различают следующие виды измерений:

1) линейные – получают наклонные и горизонтальные расстояния между точками. Инструменты: мерные ленты, рулетки, проволоки, оптические свето- и радиодальномеры;

2) угловые – определяют величины горизонтальных и вертикальных углов. Инструменты: эклиметры, буссоли, теодолиты;

3) высотные – получают разности высот отдельных точек. Инструменты: баронивелиры, теодолиты-тахеометры, нивелиры.

Области и виды геодезических измерений

базисные измерения

Область геодезических измерений, связанная с определением длин базисов (или их интервалов).

астрономо-геодезические измерения

Область геодезических измерений, связанная с определением геодезических координат.

нивелирование

Область геодезических измерений, связанная с определением высот (разностей высот).

геодинамические измерения

Область геодезических измерений, связанная с определением изменений положения геодезических пунктов во времени относительно принятых исходных пунктов, а также интерпретацией полученных результатов.

створные измерения

Область геодезических измерений, связанная с определением отклонений положения пунктов (точек) от прямой линии (заданного створа).

(топографическая) съемка

Область геодезических измерений, связанная с созданием плана (карты) объекта, осуществляемым на объекте измерений в сочетании со сбором и анализом информации.

угловые (геодезические) измерения

Вид геодезических измерений, в которых измеряемой геодезической величиной являются горизонтальные и (или) вертикальные углы (зенитные расстояния).

линейные (геодезические) измерения

Вид геодезических измерений, в которых измеряемой геодезической величиной являются длины сторон геодезических сетей (расстояния или их разности).

(геодезические) измерения превышений

Вид линейных геодезических измерений, в которых измеряемой геодезической величиной являются разности высот пунктов (точек).

гироскопические измерения

/гироскопическое ориентирование/

Вид угловых геодезических измерений, в которых измеряемой геодезической величиной являются азимуты направлений, определенные с помощью гироскопических приборов.

(геодезические) измерения координат

/координатные измерения/

Вид геодезических измерений, в которых измеряемой геодезической величиной является положение геодезических пунктов относительно исходных пунктов в заданной отсчетной системе.

Примечание: На практике различают несколько методов измерения координат (приращений): инерциальный, спутниковый, тахеометрический.

12. Задача

13. Свойства простой арифметической средины.

1. Если результаты измерений свободны от систематических погрешностей, то простая арифметическая средина этих результатов при увеличении числа измерений в пределе стремится к истинному значению измеряемой величины, т.е

.(5.2)

Согласно (2.1) и (2.2) при отсутствии систематических погрешностей можно записать

Δ₁=l₁-X

Δ₂=l₂-X

……………

Δ_n=l_n-X.

Сложив почленно и разделив на n

 

На основании (5.1) это равенство можно представить в виде

 

При n→∞ левая часть данного выражения на основании свойства компенсации (2.4) стремится к нулю. Правая его часть так же будет стремится к нулю, что и доказывает справедливость (5.2).

Cледовательно, L – состоятельная оценка величины X.

2. Арифметическая средина независимых равноточных результатов измерений обладает стандартом в раз меньшим стандарта σ этих измерений.

Представим (5.1) в виде

Воспользуемся основной теоремой (4.2)

.

.(5.3)

 

Наглядно это можно представить, изобразив на рис.5.1, области рассеивания погрешностей Δ и Δ_L:

Область возможного рассеивания погрешностей Δ_L будет тем уже, чем большее число измерений n. В связи с эти возникает вопрос, является ли увеличение количества измерений эффективным средством повышения их точности. При n ≤ 10 на этот вопрос можно ответить положительно. Но при большем n возрастание точности будет идти гораздо медленнее увеличения n. Так, для повышения точности в 4 раза потребуется 16 измерений, в 5 раз – 25, в 6 раз – 36, в 10 раз – 100 измерений.

Кроме того, всегда остаются малые по сравнению со случайными систематические погрешности, которые не удалось полностью исключить. При достижении некоторого n они станут преобладающими в величине L и будут препятствовать дальнейшему повышению точности. И ещё, чем больше число измерений, тем больше времени требуется на их выполнение. В течение этого времени могут изменяться условия, что неизбежно нарушит их равноточность.

3. Если арифметическая средина образована из результатов измерений, свободных от систематических погрешностей, то и сама она не содержит систематической погрешности.

Допустим обратное, т.е. результаты измерений содержат систематические погрешности Θ₁, Θ₂… Θ_n. Тогда на основании (2.1) и (2.2) можно записать:

l₁-X=Θ₁+Δ₁

l₂-X=Θ₂+Δ₂

……………...

l_n-X=Θ_n+Δ_n.

Сложив почленно и разделив на n, получаем:

.

Правая часть полученного уравнения состоит из двух слагаемых, представляющих систематическую и случайную погрешность арифметической средины, откуда следует, если Θ₁=Θ₂=...Θ_n=0, то и будет равно 0, что и доказывает сформулированное выше свойство.

Таким образом, при отсутствии систематических погрешностей арифметическая середина L не только состоятельная, но и несмещённая оценка величины X. Такую оценку принято называть вероятнейшим значением измеренной величины.

При наличии систематических погрешностей арифметическая средина также будет содержать систематическую погрешность

,

а поэтому не будет обладать свойствами 1 и 3 . В этом случае арифметическая средина L хотя и даст наилучшее из возможных приближений к X, но не будет ее вероятнейшим значением.

Ранее в 2.1 было отмечено, что влияние случайных погрешностей можно ослабить надлежащей математической обработкой. Такого рода обработку называют уравниванием результатов измерений.

Отклонения, или вероятнейшие погрешности. Истинное значение измеряемой величины, как правило неизвестно.

Поэтому случайные погрешности не могут быть вычислены по формуле

,

а значит не может быть вычислена и С.К.П. отдельного измерения по формуле .

 

Тогда оценку точности измерений проводят по отклонениям или вероятнейшим погрешностям отдельных измерений от арифметической середины:

 

Для установления свойств отклонений:

- сложим почленно эти равенства

- разделим почленно на n

- так как = X₀ или

 

поэтому =0

 

Сумма отклонений измеренных значений от арифметической середины равна нулю. Отклонение называется вероятнейшими погрешностями.

По отклонениям вычисляют С.К.П. отдельного измерения по формуле Бесселя.

 

 

(n-1)- число избыточных измерений

Кроме того, необходимо вычислить:

1)С.К.П. самой С.К.П. m в этом случае определяется по формуле

2)С.К.П. М арифметической середины вычисляют по формуле

 

,

где:

-m-С.К.П. отдельного измерения;

 

-n- число равноточных измерений.

Формула С.К.П. арифметического среднего, даёт возможность сделать практический вывод о том, что повышение точности путём многократных измерений одной и той же величины, выгодно только при небольшом числе измерений.

т =10”

Пример n=1;2;4;6;8;

М = 10”;7”;5”;4”;3”.

Поэтому в полевых геодезических работах средней точности число повторений не превышает 3-4 приемов.

Для существенного повышения точности нужно применить более точные приборы. Вывод С.К.П. арифметической середины в раз меньше С.К.П. отдельного измерения.

3)С.К.П. самой С.К.П. М находят по формуле:

14. Оценки точности результатов неравноточных измерений.

Приведем без вывода формулы характеристик точности, используемых при обработке прямых неравноточных измерений.

Средняя квадратическая погрешность m измерения, имеющего вес, равный единице:

- формула Гаусса: .

Формула применяется, когда известно достаточно точное, близкое к истинному, значение X измеряемой величины.

- формула Бесселя: ,

где v_i - поправки к результатам измерений:

.

Средняя квадратическая погрешность общей арифметической средины

При математической обработке неравноточных измерений одной и той же величины решаются последовательно следую­щие задачи:

1) определяют средневесовое значение из результатов измерений

, (3.14)

где – приближенное (как правило – наименьшее) значение измеряемой величины;

– сумма весов;

2) определяют СКП единицы веса по формуле:

; (3.15)

3) вычисляют СКП самой СКП единицы веса

, (3.16)

4) вычисляют СКП средневесового значения

. (3.17)

Для удобства вычислений применяется табличная форма.

В зависимости от условия задачи для различных видов измерений веса можно вычислять по следующим формулам:

; ; ; , (3.18)

где – произвольно выбранное число равное квадрату СКП единицы веса;

L – длина нивелирного хода в км;

п – число углов поворота в теодолитном ходе или чис­ло станций в нивелирном ходе.