5.Примеры решения заданий:

Задание №1. Определить усилия в стержнях АВ и ВС( рис. 1.1.а) кронштейна от приложенной нагрузки F=10кН, если α = 30⁰, β =85⁰.

Решение.

Мысленно вырезаем узел В ( рис. 1.1.б) и заменяем связи реакциями стержней N₁ и N₂. При этом реакции направим по стержням, считая, что они растянуты. Если же в результате решения окажется, что в каком- либо стержне величина усилия получилась отрицательной ( знак минус), то

это будет обозначать, что данный стержень сжат.

Рисунок 6.

Решение.

Мысленно вырезаем узел В (рис. 6.б) и заменяем связи реакциями стержней N₁ и N₂ . При этом реакции направим по стержням от узла, 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000считая, что они будут растянуты. Если же в результате решения окажется, что в каком- либо стержне величина усилия получилась отрицательной ( знак минус), то это будет означать, что данный стержень сжат.

Выбираем координатные оси XY и спроектируем на них все силы, действующие на узел В. При этом одну из осей координат (ось X), направим по линии действия неизвестной силы N₁.

Составим уравнения равновесия сходящихся сил, приложенных к узлу В:

Из второго уравнения находим:

Стержень N₂ сжат.

Из второго уравнения найдем:

Стержень N₁ растянут.

Проверка.

Для проверки найденных результатов применим геометрический способ решения ( метод силового треугольника). Система сил находится в равновесии , если , т.е. силовой треугольник должен быть замкнут. Для построения силового треугольника необходимо, через начало и конец вектора силы F провести прямые параллельные сторонам АВ и ВС Δ АВС до пересечения ( рис 6.в). Далее зададим направления обхода по контору силового треугольника, определяемого направлением силы F ( на рис.6.в, направление обхода показано круговой стрелкой). Вектора сил в силовом треугольнике должны располагаться так, чтобы каждый последующий вектор силы брал свое начало из конца предыдущего. После этого проставим углы в полученном треугольнике, который подобен Δ АВС. Учитывая, что полученный треугольник не прямоугольный , то для нахождения неизвестных реакций N₁ и N₂ применим теорему синусов.

, откуда

Найденные значения совпадают в первом и втором случае, следовательно, задача решена верно. (расхождение результатов возможно не более 5%).

Ответ: N₁ = 11 кН, N₂ = 5,5 кН.

Задание № 2.

Определить опорные реакции балки АВ , если F=30 кН, М=18 кНм, q= 12 кН/м, α=60⁰, а=в=1,5м, с=7м.

Решение:

Рассмотрим равновесие балки АВ ( рис. 7.). Выбираем координатные оси XY. Отбрасываем опоры и заменяем их реакциями. Реакцию в неподвижной опоры в точке А разложим по осям координат на составляющие X_А и Y_А, реакцию подвижной опоры направим перпендикулярно опорной поверхности катков, в противоположную сторону действия внешних сил. Равномерно распределенную нагрузку интенсивности q заменим равнодействующей силой Q= q∙c и приложим ее в середине участка, на котором действует нагрузка. Наклонную силу раскладываем на составляющие F_X= F∙cos α и F_Y= F∙sin α .

Рисунок 7.

Для полученной произвольной плоской системы сил составляем уравнения равновесия:

Решая, полученные уравнения, найдем опорные реакции.

Для проверки правильности найденных реакций составим независимое уравнение.

, или

Опорные реакции ,найдены верно.

Ответ: X_А=-15кН, Y_A=53,3 кН, Y_B=56,7кН.

Задание №3.

Определить реакции опор вала ( рис. 8.) силу F₂, если дано: F₁=10Н, P=20Н, R_c= 4см, R_Д= 10см, а=15 см, в=30 см, с=15 см. Вал находится в положении равновесия.

Рисунок 8.

Решение:

1) Изображаем вал с насаженными на него жестко колесами С и Д. Прикладываем внешние силы F₂ , F₁ и P –вес тела, который прикладываем в середине длины вала. Отбросим связи в опорах А и В вала. Неизвестные реакции связей в опорах разложим на две составляющие по осям Z и X. Получим силы Z_А ,X_А, Z_В ,X_В, которые и требуется определить.

2) Для определения неизвестных величин запишем условие равновесия произвольной пространственной системы сил и составим уравнения равновесия сил приложенных к валу.

проекций нет.

Решая полученные уравнения, найдем неизвестные силы.

Ответ: X_А=-7,5Н; Z_А=11Н; X_В=-2,5Н; Z_в=13Н.

Знак минус указывает, что силы X_А и X_В направлены в противоположную сторону.

Задание № 4.

Определить уравнение траектории движения точки, скорость и ускорение для момента времени t₁=1 c, а также радиус кривизны траектории, если даны уравнения движения точки в плоскости XOY:

Решение:

1) Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, то используем формулу:

Из заданных уравнений движения выразим значения синуса и косинуса:

Далее, возведя обе части уравнений в квадрат и затем сложив их получим:

Уравнение траектории движения точки эллипс.

2) Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

При t₁=1 c

3) Аналогично найдем ускорение точки.

При t₁=1 c

4) Радиус кривизны траектории найдем по формуле:

, где

Определим касательное ускорение точки a_1τ по формуле:

Тогда:

Окончательно:

Ответ: a₁=1,93 см/с² ;v₁=2,48 см/с ;ρ₁=3см

Задание №5.

На вертикальном участке трубы АВ ( рис 9.) на груз Д массой m действует сила тяжести P и постоянная сила Q. На наклонном участке ВС действуют: сила тяжести P , сила трения F_тр и переменная сила F=F(t). Найти закон движения груза на участке ВС, т.е. x=f(t), если дано: m = 5кг, v =2м/с, Q= 10 Н, t₁=1с, F_x=5t²+8, f=0,2.

А

Рисунок 9.

Решение:

1). Для определения закона движения груза на участке АВ, а затем на участке ВС, изображая груз в произвольном положении и считая его материальной точкой.

2) Рассмотрим движение груза Д на участке АВ трубы. Прикладываем действующие на него силы P и Q. Проводим ось А_z и составляем дифференциальное уравнение в проекции на эту ось:

Далее находим , получим :

Разделив переменные в уравнении и поделив на m обе части неравенства получим:

Далее проинтегрируем выражение

или

Для нахождения постоянной интегрирования С₁ введем начальные условия , а именно: . Подсчитав начальные условия получим, что , тогда:

Полагая, что , получим:

3)Рассмотрим теперь движение груза на участке ВС, найденная скорость

будет для движения на этом участке начальной скоростью . Изображаем действующие на груз силы P,N,F,F_тр. Проведем из точки В оси Вx и By и составим дифференциальное уравнение груза проекции на ось Вx:

,

где .

Для определения N составим уравнение в проекции на ось By: , откуда ,следовательно . Далее определяем : .

Разделив обе части дифференциального уравнения на m, вычислим:

;

Тогда получим :

Умножая обе части равенства на и интегрируя, найдем:

Для нахождения С₂ вводим начальные условия: t=t₀=0, v_x=v_o=v_B. Подставив их в равенство получим С₂=V_B=13,8

При найденном значении С₂ уравнение имеет вид:

Умножая обе части на и снова интегрируя, найдем:

Так как t=t₀=0, x=x₀=0, то С₃=0 и окончательно искомый закон движения груза будет:

ЛИТЕРАТУРА.

1. Лачуга Ю.Ф., Ксендзов В.А. Теоретическая механика: Учебник для вузов.- М.: Колос, 2000.- 375 с.

2. Лачуга Ю.Ф., Ксендзов В.А. Теоретическая механика: Учебник для вузов.- М: Колос, 2005.- 375 с.

3. Лачуга Ю.Ф., Ксендзов В.А. Теоретическая механика: Учебник для вузов.- М.: Колос, 2010.- 375 с.

4. Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике: Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по техническим специальностям. - 43-е изд.; стереотип.- СПб.: Лань, 2005. - 448 с.

5. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: Ученик для машиностроительных и приборостроительных спец. вузов. - 5-е изд.; перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 1990.- 607 с.

6. Парфенов Н.С. Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие. - Вологда - Молочное: ВГМХА, 2000. - 240 с.

7. Тарг СМ. Краткий курс теоретической механики: Учебник для студентов высших учебных заведений. - 15-е изд.; стереотип. - М.: Высшая школа, 2005.-416 с.

8. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики: Учебник для техн. вузов. - 7-е изд.; стереотип.- СПб.: Лань, 1999. - 768 с.

9. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебное пособие для студ. вузов / Под общей редакцией А.А. Яблонского. - М.: ИНТЕГРАЛ-ПРЕСС, 1998. - 384 с.

10. Диевский В.А., Диевский А.В. интернет-тестирование базовых знаний издательство Лань, С.Петербург, 2010 г.

Кащеев Иван Иванович

Попов Андрей Сергеевич

Методические указания и контрольные задания для выполнения контрольной работы

по дисциплине «Теоретическая механика»

Формат 148 210. Тираж 50 экз. Бумага офсетная