Тема 10. Задачи линейного программирования в производственном менеджменте

План:

1. Сущность линейного программирования

2. Решение задачи по линейному программированию выпуска продукции

3. Решение задачи об оптимальном плане выпуска продукции

с помощью Excel

4. Анализ оптимального решения ЛП-задач

5. Двойственная задача. Теневые цены

6. Заключение

1. Сущность линейного программирования

Область исследования операций, которая занимается оптимизацией, т.е. нахождением максимума (или минимума) целевой функции при заданных огра­ничениях, называется математическим программированием. С точки зрения современного русского языка этот термин не вполне удачен, поскольку сейчас под программированием однозначно понимается написание программ для ком­пьютеров (людей, профессионально занимающихся этой работой, называют программистами). В английском языке значение слова programming определе­но не столь жестко и может означать планирование, выбор программы (плана) действий. Именно в этом контексте следует понимать и термин математиче­ское программирование. Некоторым оправданием этому термину в русском пе­реводе может служить то обстоятельство, что всякая реализация методов мате­матического программирования в практике управления невозможна без исполь­зования компьютерных программ. Поэтому все эти методы являются фактически компьютерными алгоритмами.

В зависимости от вида целевой функции и ограничений различают линейное и нелиней­ное программирование.

Линейное программирование имеет дело с оптимизацией моделей, в которых целевая функция линейно зависит от переменных решения и ограничения представляют собой линейные уравнения или неравенства относительно этих переменных.

Фактически это означает, что целевая функция и ограничения могут пред­ставлять собой только суммы произведений постоянных коэффициентов на пе­ременные решения в первой степени, т.е. выражения типа

C| Xi+ C2Xi + ... + С„Х_п.

Если целевая функция и/или ограничения содержат нелинейные выражения, то они относятся к моделям нелинейного программирования.

Важность моделей линейного программирования связана с тем, что

• очень много важных для практики проблем, относящихся к самым раз­ным сферам деятельности, могут быть проанализированы с помощью моделей линейного программирования;

• существуют эффективные и универсальные алгоритмы решения задач линейного программирования, реализованные на общедоступном программном обеспечении;

• методы анализа моделей линейного программирования не просто позво­ляют получить оптимальное решение, но и дают информацию о том, как может изменяться это решение при изменении параметров модели. Именно эта инфор­мация, позволяющая получить ответы на вопросы типа "что, если...", представ­ляет особую ценность для лица, принимающего решение.

2. Решение задачи по выпуску продукции

Оптимальный план выпуска продукции мебельного цеха (Product Mix)

Цех может выпускать два вида продукции: шкафы и тумбы для телевизора.

На каждый шкаф расходуется 3,5 м стандартных ДСП, 1 м листового стекла и 1 человеко-день трудозатрат. На тумбу -1м ДСП, 2 м стекла и 1 человеко-день.

Прибыль от продажи 1 шкафа составляет 200 у. е., а 1 тумбы -100 у. е.

Материальные и трудовые ресурсы ограничены: в цехе работают 150 рабочих, в день нельзя израсходовать больше 350 м ДСП и более 240 м стекла.

Какое количество шкафов и тумб должен выпускать цех, чтобы сделать при­быль максимальной?

Формализация примера и основные соотношения

Сведем данные - параметры, характеризующие работу цеха, в следующую таблицу (таблица 10.1).

Таблица 10.1 - Параметры задачи

Ресурсы	Запасы	Продукты
		Шкаф	Тумба
ДСП	350	3,5	1
Стекло	240	1	2
Труд	150	1	1
Прибыль		200 100

В колонке "Запасы" записан предельный расход ресурсов (ДСП, стекла и количества человеко-дней), который ежедневно может позволить себе началь­ник цеха.

В колонках "Шкаф" и "Тумба" (продукты, которые может выпускать цех) записан расход имеющихся ресурсов на единицу продукции (т.е. сколько требуется ДСП, стекла и труда на один шкаф и на одну тумбу).

Наконец, на пересечении колонок "Шкаф" и "Тумба" и строки "При­быль" записаны величины прибыли от продажи одного шкафа и одной тумбы.

Определим теперь все элементы математической модели данной ситуации (таблица 10.2):

• переменные решения,

• целевую функцию,

• ограничения.

В данном случае очевидно, что переменные решения (иначе - неизвест­ные), которые может задавать начальник цеха и от которых зависит целевая функция (прибыль) цеха, - это количество шкафов и тумб, выпускаемых цехом ежедневно. Обозначим эти переменные соответственно х₁ и х₂.

Таблица 10.2 – Элементы модели

Переменные решения	Целевая функция
х1 - количество шкафов, х2 - количество тумб, производимых ежедневно	Р=200х1+ 100х2 Ежедневная прибыль цеха
Ограничения
3,5х1 + 1х2 ≤ 350 1х1 +2х2 ≤ 240 1х1 +1х2≤ 150 х1, х2 ≥ 0

Глядя на выражение для целевой функции (типичное для моделей линей­ного программирования), легко увидеть, что, чем больше будут значе­ния переменных х₁ и х₂, тем больше будет и прибыль Р. Если бы было возмож­но беспредельно увеличивать ежедневный выпуск шкафов и тумб, прибыль росла бы беспредельно. Однако это невозможно, поскольку доступ­ные ежедневные ресурсы цеха ограниченны. Это приводит к ограничением на значения переменных х₁ и х₂.

Определение переменных решения, целевой функции и ограничений - это почти все, что должен сделать менеджер, чтобы воспользоваться результатами оптимизации и анализа линейной модели. Далее необходимо только правильно организовать данные для компьютера, а все остальное сделает компьютерный алгоритм оптимизации.