Вариант 78

Задача 8

В таблице приведена зависимость прибыли банка У от объёма межбанковских кредитов и депозитов Х.

хi	2	2,1	2,3	2,4	2,9	3,3	3,8	4,5
yi	30,8	31,7	32,7	33,2	34,7	37,2	40,4	44,4

На основе статистических данных, необходимо:

1. Построить корреляционное поле. Выдвинуть предположение о характере статистической зависимости между переменными X и Y .

2. Найти параметры линейного уравнения регрессии .

Пояснить экономический смысл выборочного коэффициента регрессии.

3. Найти коэффициент парной корреляции и оценить тесноту связи на основе таблицы Чеддока.

4. Найти коэффициент детерминации R².

5. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии на уровне 0,05, используя F-статистику.

6.Полученное уравнение регрессии изобразить графически.Сделать вывод окачестве построенной модели.

7.Вычислить прогнозное значение при прогнозном значении , составляющем 130% от среднего уровня х.

Решение

1.Построим корреляционное поле.

Анализ рисунка позволяет сделать предположение о наличии линейной зависимости прибыли банка У от объёма межбанковских кредитов и депозитов Х. При этом связь имеет положительную тенденцию, т.е. с увеличением объёма межбанковских кредитов и депозитов Х увеличивается прибыль банка У .

2. Найдём параметры линейного уравнения регрессии по формулам :

b = ; a = - b∙

Для удобства вычислений найдём необходимые суммы и вычислим средние.

Составим расчётную таблицу №1

№	y	x	x • y	y 2	x2
1	30.8	2	61.6	948.64	4
2	31.7	2.1	66.57	1004.89	4.41
3	32.7	2.3	75.21	1069.29	5.29
4	33.2	2.4	79.68	1102.24	5.76
5	34.7	2.9	100.63	1204.09	8.41
6	37.2	3.3	122.76	1383.84	10.89
7	40.4	3.8	153.52	1632.16	14.44
8	44.4	4.5	199.8	1971.36	20.25
Сумма	285.1	23.3	859.77	10316.51	73.45
Среднее	35,64	2,91	107,47	1289,56	9,18

b = 5,28;

a = 35,64– 5,28∙ 2,91 20,28

Уравнения регрессии: = 5,28х +20,28

Коэффициент регрессии b показывает, что при увеличении объёма межбанковских кредитов и депозитов на 1 у.ед., прибыль банка в среднем увеличивается на 5,28у.ед. .

3.Найдём коэффициент парной корреляции по формуле :

=

= 0,995

Линейная связь между переменными Х и У прямая, и очень сильная.

4 . Коэффициент детерминации R²:

R² =

R² = (0,995)² 0,99

Таким образом ,изменение прибыли банка У на 99% обусловлено изменением объёма межбанковских кредитов и депозитов Х и на 1% - действием неучтенных в модели факторов.

5. Оценим статистическую значимость уравнения регрессии , используя F-статистику с 95% надёжностью.

С помощью критерия Фишера проверяется нулевая гипотеза Hо о статистической незначимости уравнения регрессии. Конкурирующая гипотеза – уравнение регрессии статистически значимо.

Наблюдаемое значение критерия Фишера вычислим по формуле:

= ∙ ( n -2),

= ∙ ( 8 -2) =594

Найдём табличное значение критерия Фишера, определяется по таблицам

Для нашей задачи: ( ; ; α ),Степени свободы: =1, = n-2=8-2=6, уровень значимости α =0,05

( ; ; 0,05) =5,99.

Поскольку наблюдаемое значение 594 = > F_табл= 5,99, то нулевая

гипотеза Но о статистической незначимости уравнения регрессии отклоняется на уровне значимости α =0,05 и принимается конкурирующая гипотеза , т.е. признаётся статистическая значимость уравнения регрессии.

6.Построим линейное уравнение регрессии : = 5,28х +20,28

Можно сделать вывод о правомочности применения линейной регрессионной модели. Полученное уравнение регрессии может быть использовано при прогнозировании.

7.Вычислим прогнозное значение при прогнозном значении , составляющем 130% от среднего уровня х:

1,3∙ = 1,3 ∙ 2,91 3,78 (у.ед)

= 5,28∙ + 20,28

= 5,28∙ 3,78 + 20,28 40,24(у.ед).