Задача 7.

1. . По одному и тому же маршруту в один и тот же день совершают полёт три самолёта. Каждый самолёт с вероятностью 0,7 может произвести посадку по расписанию. Для числа самолётов, отклонившихся от расписания, составьте закон распределения. Постройте полигон, найдите математическое ожидание и дисперсию.

2. Дискретная случайная величина Х принимает только два возможных значения. Причём вероятность того, что будет принято меньшее значение, равна 0,6. Математическое ожидание этой величины 1,4, дисперсия — 0,24. Найдите закон её распределения.

3. Независимые случайные величины X и Y имеют математические ожидания и а их дисперсии Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=2X+Y.

4. Случайная величина Х задана функцией распределения :

Найдите функцию плотности вероятностей. Определите математическое ожидание, дисперсию и медиану. Вычислите вероятность попадания величины Х в интервал (0; 3). Постройте графики функции распределения и плотности вероятностей.

5. Случайная величина Х — отклонение размера детали от стандартного — имеет нормальное распределение со средним квадратическим отклонением, равным 0,2. Систематическая ошибка отсутствует. Найдите вероятность изготовления детали, отвечающей требованиям стандарта, если задан допуск 0,5.

6. Максимальное значение плотности вероятностей случайной величины Х, подчинённой нормальному закону распределения, равно Найдите среднее квадратическое отклонение и дисперсию этой случайной величины.

7. В коробках находятся карточки с цифрами от 1 до 5. Необходимо набрать полный комплект из пяти карточек с разными цифрами. Если из коробки случайно вынимается только одна карточка, то сколько коробок в среднем надо открыть, чтобы получить полный комплект?

8. Монету подбрасывают пять раз. Составьте закон распределения числа выпавших «орлов». Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. Постройте полигон распределения.

9. Случайная величина Х принимает три возможных значения: -1; 0 и 1. Математическое ожидание этой величины равно 0,1, а дисперсия — 0,89. Найдите закон распределения величины Х.

10. Найдите математические ожидания величин Z и T, где Z=X+4Y; Т = 7Х-3Y, а математические ожидания величин Х и Y равны М(Х)=2 и М(Y)=5.

11. Случайная величина Х определена на интервале (0, 2). Её плотность распределения Определите коэффициент а. Найдите функцию распределения. Определите математическое ожидание, дисперсию и медиану. Найдите вероятность попадания величины Х в интервал (0; 0,5). Постройте графики функции распределения и плотности вероятностей.

12. Случайная величина Х имеет плотность вероятности Найдите вероятность того, что при двух независимых испытаниях случайная величина Х хотя бы один раз примет значение вне интервала (4; 6).

13. Значения случайной величины Х находятся в интервале Может ли функция распределения величины Х равняться на этом интервале

14. Сколько в среднем раз надо бросать игральный кубик до появления шестёрки?

15. Мальчик набрасывает кольца на колышек до первого попадания. Вероятность удачного броска равна 0,3. Всего у мальчика пять колец. Составьте закон распределения числа неиспользованных колец. Постройте многоугольник распределения. Найдите математическое ожидание, моду и дисперсию.

16. Функция распределения F(х) случайной величины Х имеет вид:

Определите коэффициенты А и В. Найдите функцию плотности вероятностей f(x). Определите математическое ожидание, дисперсию и медиану. Найдите вероятность попадания величины Х в интервал (0; 0,5а). Постройте графики и f(х).

1 7. Длина лабораторной бюретки распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 25 см и дисперсией 0,25 см ². Определите вероятность того, что эта длина окажется меньше 25,5 см.

18. Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения. Используя график плотности вероятностей у = f(х), найдите математическое ожидание и ориентировочные значения среднего квадратического отклонения и дисперсии.

19. В лаборатории имеются несколько стеклянных палочек. Споткнувшийся лаборант роняет их на пол, в результате чего многие из них разбиваются на две части. Каково среднее отношение длины короткой части к длине длинной части? Считайте, что длины осколков имеют равномерное распределение.

19. Стрелок, имея четыре патрона, ведёт стрельбу до первого попадания. Вероятность поражения цели равна 0,2. Составьте закон распределения патронов, оставшихся неизрасходованными. Определите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Постройте полигон распределения.

20. Плотность распределения случайной величины Х задана выражением

Найдите функцию распределения. Определите математическое ожидание, дисперсию и медиану. Вычислите вероятность попадания величины Х в интервал (0; 1). Постройте графики функции распределения и плотности вероятностей.

21. Случайная величина распределена по нормальному закону. Её дисперсия равна 36. Найдите вероятность того, что отклонение данной случайной величины от её математического ожидания будет меньше 5.