Задача 5.

1. В ящике 3 красных и 5 синих шаров. Вынимают без возвращения пять шаров. Напишите полную группу событий, означающих число вынутых синих шаров.

2. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 27 кубиков одинакового размера. Определите вероятность того, что извлечённый наудачу кубик будет иметь две окрашенные грани.

3. Две команды по 10 человек производят жеребьёвку для присвоения номеров участникам соревнования. Два брата входят в состав различных команд. Найдите вероятность того, что братья будут участвовать в соревнованиях: а) с одним и тем же номером «5»; б) с одним и тем же номером.

4. Внутри окружности наугад выбирается произвольная точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в эту окружность квадрата.

5. Стрелок четыре раза стреляет по мишени. Определите вероятность того, что он трижды попадёт, если вероятность двух попаданий равна 0,2. (В среднем этот стрелок поражает цель более чем в половине случаев).

6. У англичан принято давать детям несколько имён. Сколькими способами можно назвать ребенка, если общее число имён равно 300, а ребенку дают не более трёх разных имён

7. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Каковы вероятности того, что сообщение из 10 знаков: а) не будет искажено; б) содержит не более трёх искажений?

8. Случайным образом записывают 450 двузначных чисел. Найдите вероятность того, что число 33 встретится менее трёх раз.

9. . Два игрока условились, что выигрыш получит тот, кто выиграет 10 партий. Игра была прервана, когда первый игрок выиграл 8 партий, а второй 7. Как разделить ставку, если вероятности выигрыша партии каждым игроком равны?

10. Сколькими способами можно раскрасить грани куба в два цвета так, чтобы граней каждого цвета было поровну?

11. Пьяница стоит на расстоянии одного шага от лужи. Он шагает случайным образом либо к луже, либо от неё. На каждом шагу вероятность отойти от лужи равна , а шаг к ней имеет вероятность . Какова вероятность, что пьяница избежит попадания в лужу

12. Сыгран футбольный матч. Какие из следующих событий несовместны: а) А — победила первая команда, В — матч закончился вничью; б) А — одна команда забила 6 голов, В — эта команда проиграла; в) А — в матче реализованы все назначенные пенальти, В — хотя бы один игрок пробил мимо ворот при исполнении пенальти?

13. В ящике 5 красных и 5 белых шаров. Вынимают два из них (без возвращения). Покажите, что события А — «первый шар красный», В — «второй шар красный» являются зависимыми.

14. Событие А — выигрыш в этом году сборной России первенства мира по футболу, В — выигрыш сборной России чемпионата по хоккею. Что означает событие А+В? Как записать событие, заключающееся в том, что проиграли обе сборные?

15. На четырёх карточках написаны числа 1, 2, 3 и 4. Какова вероятность того, что сумма чисел на трёх произвольно выбранных карточках делится на 3?

16. В мастерскую для ремонта поступило 13 телевизоров. Известно, что шесть штук из них нуждаются в общей регулировке. Мастер берёт первые попавшиеся пять телевизоров. Какова вероятность того, что два из них нуждаются в общей регулировке?

17. На отрезке длиной 5 см произвольно независимо друг от друга выбирают два интервала по 1 см. Определите вероятность того, что эти интервалы не пересекаются.

18. Футбольная команда «Маяк» в кубке дважды встречается со своим противником. Вероятность её победы в каждой встрече равна 0,4, вероятность ничьей — 0,3. Для продолжения соревнования необходимо одержать две победы или победу и ничью. Найдите вероятность того, что команда «Маяк» выйдет в следующий раунд кубка.

19. Есть пять урн. В первых трех находятся по два белых и три чёрных шара, в двух других — по три белых и два чёрных шара. Случайно выбирается урна и из неё вынимается шар. Найдите вероятность того, что он окажется белым.

20. Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания для каждого из них равны соответственно 0,6 и 0,7. Найдите вероятность того, что у обоих спортсменов будет равное число попаданий.

21. Прибор состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа каждого элемента в течение определенного времени равна 0,002 и не зависит от состояния других элементов. Найдите вероятность отказа за данное время: а) двух элементов; б) не менее двух элементов.